Упр.1.21 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 1.21. Найдите все целочисленные значения параметра $$a$$, при которых оба корня уравнения — целые числа.

а) Рассмотрим уравнение

$$x^2+ax+\frac{4}{a-4}=0.$$

Если оба корня целые, то по теореме Виета

$$x_1+x_2=-a \in \mathbb{Z}, \qquad x_1x_2=\frac{4}{a-4}\in \mathbb{Z}.$$

Значит, $$a\in \mathbb{Z}$$ и число $$a-4$$ должно быть делителем числа $$4$$. Тогда

$$a-4\in \{-4,-2,-1,1,2,4\}.$$

Отсюда возможны значения

$$a\in \{0,2,3,5,6,8\}.$$

Проверим дискриминант:

$$D=a^2-4\cdot \frac{4}{a-4}=a^2-\frac{16}{a-4}.$$

Подставляя найденные значения, получаем:

$$D(0)=4,\quad D(2)=12,\quad D(3)=25,\quad D(5)=9,\quad D(6)=28,\quad D(8)=60.$$

Только при $$a=0,\;3,\;5$$ дискриминант является квадратом целого числа, значит, корни уравнения целые.

б) Рассмотрим уравнение

$$(a+2)x^2+(2a-1)x+a^2-5a-4=0.$$

Если оба корня целые, то по теореме Виета

$$x_1+x_2=-\frac{2a-1}{a+2}\in \mathbb{Z}, \qquad x_1x_2=\frac{a^2-5a-4}{a+2}\in \mathbb{Z}.$$

Так как $$a\in \mathbb{Z},$$ то должно выполняться $$a+2\mid 1,$$ откуда

$$a+2=\pm 1.$$

Следовательно,

$$a=-1 \quad \text{или} \quad a=-3.$$

Проверим:

$$D=(2a-1)^2-4(a+2)(a^2-5a-4).$$

При $$a=-1$$:

$$D=1,$$

при $$a=-3$$:

$$D=225.$$

В обоих случаях корни целые.

Ответ

а) $$0,\;3,\;5$$; б) $$-3,\;-1$$.