Упр.1.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

1.20. При каких значениях параметра $$a$$ уравнение имеет два различных натуральных корня:

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение

$$ax^2-(2a^2+5)x+10a=0.$$

Чтобы уравнение имело два различных корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным:

$$D=(2a^2+5)^2-4\cdot a\cdot 10a=4a^4-20a^2+25=(2a^2-5)^2.$$

Тогда

$$D>0 \iff (2a^2-5)^2>0 \iff 2a^2-5\ne 0 \iff a\ne \pm\sqrt{\frac52}.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{(2a^2+5)-(2a^2-5)}{2a}=\frac{10}{2a}=\frac5a,$$

$$x_2=\frac{(2a^2+5)+(2a^2-5)}{2a}=\frac{4a^2}{2a}=2a.$$

Оба корня должны быть натуральными. Значит,

$$\frac5a\in \mathbb N,\qquad 2a\in \mathbb N.$$

Из условия $$\frac5a\in \mathbb N$$ следует, что $$a$$ — положительный делитель числа $$5$$:

$$a\in \left\{1,\;5,\;\frac15,\; \text{и } \frac52 \text{ не подходит, так как } \frac5a \notin \mathbb N\right\}.$$

Проверим подходящие значения:

при $$a=\frac12$$ получаем $$x_1=10,\; x_2=1$$;
при $$a=1$$ получаем $$x_1=5,\; x_2=2$$;
при $$a=\frac52$$ корни не являются натуральными одновременно;
при $$a=5$$ получаем $$x_1=1,\; x_2=10$$.

Следовательно, подходят значения

$$a=\frac12,\;1,\;5.$$

б) Рассмотрим уравнение

$$ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0.$$

Если его корни $$x_1$$ и $$x_2$$ — натуральные числа, то по теореме Виета

$$x_1+x_2=\frac{a^2+5}{a}=a+\frac5a,$$

$$x_1x_2=\frac{3a-5}{a}=3-\frac5a.$$

Так как $$x_1x_2\in \mathbb N$$, то

$$3-\frac5a>0,$$

откуда $$a>\frac53.$$

Кроме того, $$a+\frac5a\in \mathbb N$$ и $$3-\frac5a\in \mathbb N$$. Из условия целочисленности произведения следует, что $$\frac5a$$ — целое число, значит $$a$$ является делителем числа $$5$$. С учётом $$a>\frac53$$ остаётся только

$$a=5.$$

Проверим:

$$5x^2-(25+5)x+15-5=0,$$

$$5x^2-30x+10=0,$$

$$x^2-6x+2=0.$$

Дискриминант равен

$$D=36-8=28,$$

а это не квадрат целого числа, значит натуральных корней нет.

Следовательно, таких значений параметра не существует.