Упр.1.2(стар учебник) ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Может ли из $$101$$ идущих подряд натуральных чисел быть ровно одно, делящееся: а) на $$50$$; б) на $$51$$; в) на $$101$$; г) на $$10001$$?

Пусть среди $$101$$ подряд идущего натурального числа ровно одно делится на число $$m$$. Тогда в любом отрезке из $$101$$ последовательных чисел должно быть ровно одно кратное $$m$$.

1. а) Для $$m=50$$ это невозможно. Действительно, среди любых $$101$$ подряд идущих чисел кратные $$50$$ встречаются через каждые $$50$$ чисел, значит в таком отрезке будет не одно, а как минимум два числа, делящихся на $$50$$.

2. б) Для $$m=51$$ это возможно. Например, в последовательности

   $$51,\,52,\,53,\,\dots,\,151$$

   только число $$51$$ делится на $$51$$, а остальные числа не делятся на $$51$$.

3. в) Для $$m=101$$ это возможно. Например, в последовательности

   $$101,\,102,\,103,\,\dots,\,201$$

   только число $$101$$ делится на $$101$$.

4. г) Для $$m=10001$$ это невозможно, так как $$10001>101$$. Среди $$101$$ подряд идущих натуральных чисел не может быть кратного числу, большему длины этого отрезка, если требуется ровно одно кратное в каждом таком отрезке.

Ответ: а) нет; б) да; в) да; г) нет.