Упр.1.19 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 1.19. Найдите все значения $$a$$, при которых $$x$$ и $$y$$ являются натуральными числами:

Рассмотрим оба случая.

1. $$x=\frac{4}{a}+3,\qquad y=\frac{8}{a}+a.$$

   Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$a$$ должно быть натуральным делителем числа $$4$$. Значит,

   $$a\in\{1,2,4\}.$$

   Проверим:

   • при $$a=1$$: $$x=4+3=7,\ y=8+1=9$$;
   • при $$a=2$$: $$x=2+3=5,\ y=4+2=6$$;
   • при $$a=4$$: $$x=1+3=4,\ y=2+4=6$$.

   Во всех случаях $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа.

2. $$x=\frac{3}{a}+3,\qquad y=\frac{9}{a}+2a.$$

   Здесь $$a$$ должно быть натуральным делителем числа $$3$$, поэтому

   $$a\in\left\{1,\frac{3}{2},3\right\}.$$

   Проверим:

   • при $$a=\frac{1}{2}$$: $$x=6+3=9,\ y=18+1=19$$;
   • при $$a=1$$: $$x=3+3=6,\ y=9+2=11$$;
   • при $$a=\frac{3}{2}$$: $$x=2+3=5,\ y=6+3=9$$;
   • при $$a=3$$: $$x=1+3=4,\ y=3+6=9$$.

   Все найденные значения подходят.

Ответ: а) $$1,2,4$$; б) $$\frac12,1,\frac32,3$$.