Упр.1.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Пусть $$b=a+\frac{2}{a}$$ — целое число.

1. Рассмотрим выражение $$a^2+\frac{4}{a^2}.$$

   Возведём $$b$$ в квадрат:

   $$b^2=\left(a+\frac{2}{a}\right)^2=a^2+2\cdot a\cdot \frac{2}{a}+\frac{4}{a^2}=a^2+\frac{4}{a^2}+4.$$

   Тогда

   $$a^2+\frac{4}{a^2}=b^2-4.$$

   Так как $$b\in \mathbb{Z},$$ то $$b^2\in \mathbb{Z}$$, значит и $$b^2-4\in \mathbb{Z}.$$ Следовательно, $$a^2+\frac{4}{a^2}$$ — целое число.

2. Рассмотрим выражение $$a^3+\frac{8}{a^3}.$$

   Возведём $$b$$ в куб:

   $$b^3=\left(a+\frac{2}{a}\right)^3 =a^3+3a^2\cdot \frac{2}{a}+3a\cdot \left(\frac{2}{a}\right)^2+\left(\frac{2}{a}\right)^3.$$

   Упростим:

   $$b^3=a^3+6a+\frac{12}{a}+\frac{8}{a^3} =a^3+\frac{8}{a^3}+6\left(a+\frac{2}{a}\right).$$

   Так как $$a+\frac{2}{a}=b,$$ получаем

   $$b^3=a^3+\frac{8}{a^3}+6b,$$

   откуда

   $$a^3+\frac{8}{a^3}=b^3-6b.$$

   Поскольку $$b\in \mathbb{Z},$$ то $$b^3-6b\in \mathbb{Z}.$$ Значит, $$a^3+\frac{8}{a^3}$$ — целое число.

Ответ: да, в обоих случаях.