Упр.1.16 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. 1.16. На графике заданной функции найдите все точки, обе координаты которых — целые числа.

а) $$y=2+\frac{4}{x+3}$$

Чтобы обе координаты точки были целыми, нужно, чтобы $$x$$ и $$y$$ были целыми числами. Тогда $$\frac{4}{x+3}$$ тоже должно быть целым числом, значит, $$x+3$$ — делитель числа $$4$$.

Делители числа $$4$$: $$1,\ 2,\ 4,\ -1,\ -2,\ -4$$.

Отсюда:

$$\begin{aligned} x+3&=1 &\Rightarrow&\ x=-2,\quad y=2+\frac{4}{1}=6;\\ x+3&=2 &\Rightarrow&\ x=-1,\quad y=2+\frac{4}{2}=4;\\ x+3&=4 &\Rightarrow&\ x=1,\quad y=2+\frac{4}{4}=3;\\ x+3&=-1 &\Rightarrow&\ x=-4,\quad y=2+\frac{4}{-1}=-2;\\ x+3&=-2 &\Rightarrow&\ x=-5,\quad y=2+\frac{4}{-2}=0;\\ x+3&=-4 &\Rightarrow&\ x=-7,\quad y=2+\frac{4}{-4}=1. \end{aligned}$$

Итак, целочисленные точки графика:

$$(-7;1),\ (-5;0),\ (-4;-2),\ (-2;6),\ (-1;4),\ (1;3).$$

б) $$y=\frac{5x+17}{x+7}=5-\frac{18}{x+7}$$

Чтобы $$y$$ было целым, дробь $$\frac{18}{x+7}$$ должна быть целым числом, значит, $$x+7$$ — делитель числа $$18$$.

Делители числа $$18$$: $$1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18,\ -1,\ -2,\ -3,\ -6,\ -9,\ -18$$.

Тогда:

$$\begin{aligned} x+7&=1 &\Rightarrow&\ x=-6,\quad y=5-\frac{18}{1}=-13;\\ x+7&=2 &\Rightarrow&\ x=-5,\quad y=5-\frac{18}{2}=-4;\\ x+7&=3 &\Rightarrow&\ x=-4,\quad y=5-\frac{18}{3}=-1;\\ x+7&=6 &\Rightarrow&\ x=-1,\quad y=5-\frac{18}{6}=2;\\ x+7&=9 &\Rightarrow&\ x=2,\quad y=5-\frac{18}{9}=3;\\ x+7&=18 &\Rightarrow&\ x=11,\quad y=5-\frac{18}{18}=4;\\ x+7&=-1 &\Rightarrow&\ x=-8,\quad y=5-\frac{18}{-1}=23;\\ x+7&=-2 &\Rightarrow&\ x=-9,\quad y=5-\frac{18}{-2}=14;\\ x+7&=-3 &\Rightarrow&\ x=-10,\quad y=5-\frac{18}{-3}=11;\\ x+7&=-6 &\Rightarrow&\ x=-13,\quad y=5-\frac{18}{-6}=8;\\ x+7&=-9 &\Rightarrow&\ x=-16,\quad y=5-\frac{18}{-9}=7;\\ x+7&=-18 &\Rightarrow&\ x=-25,\quad y=5-\frac{18}{-18}=6. \end{aligned}$$

Целочисленные точки графика:

$$(-25;6),\ (-16;7),\ (-13;8),\ (-10;11),\ (-9;14),\ (-8;23),\ (-6;-13),\ (-5;-4),\ (-4;-1),\ (-1;2),\ (2;3),\ (11;4).$$