Упр.1.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- 1.12. Докажите, что:
а) $$72^3+34^3$$ делится на $$106$$;
б) $$1^3+2^3+3^3+\dots+181^3+182^3$$ делится на $$183$$;
в) $$18^3+26^3$$ делится на $$176$$;
г) $$2^3+3^3+\dots+196^3+197^3$$ делится на $$199$$.
а) Используем формулу суммы кубов:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Тогда
$$72^3+34^3=(72+34)(72^2-72\cdot 34+34^2)=106\,(72^2-72\cdot 34+34^2).$$
Следовательно, число $$72^3+34^3$$ делится на $$106$$.
б) Сгруппируем слагаемые попарно:
$$1^3+2^3+\dots+182^3=(1^3+182^3)+(2^3+181^3)+\dots+(91^3+92^3).$$
Для каждой пары применим формулу суммы кубов:
$$k^3+(183-k)^3=(k+183-k)\bigl(k^2-k(183-k)+(183-k)^2\bigr)=183\cdot(\dots).$$
Значит, каждое слагаемое в скобках делится на $$183$$, а значит, и вся сумма делится на $$183$$.
в) Применим формулу суммы кубов:
$$18^3+26^3=(18+26)(18^2-18\cdot 26+26^2).$$
Так как $$18+26=44$$, то
$$176=4\cdot 44,$$
следовательно,
$$18^3+26^3=44(18^2-18\cdot 26+26^2)=176\cdot \frac{18^2-18\cdot 26+26^2}{4}.$$
Значит, число $$18^3+26^3$$ делится на $$176$$.
г) Сгруппируем слагаемые попарно:
$$2^3+3^3+\dots+197^3=(2^3+197^3)+(3^3+196^3)+\dots+(99^3+100^3).$$
Для каждой пары:
$$k^3+(199-k)^3=(k+199-k)\bigl(k^2-k(199-k)+(199-k)^2\bigr)=199\cdot(\dots).$$
Значит, каждая пара делится на $$199$$, поэтому и вся сумма делится на $$199$$.
Ответ: а) делится на $$106$$; б) делится на $$183$$; в) делится на $$176$$; г) делится на $$199$$.
