Упр.1.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите все натуральные числа $$x$$ и $$y$$ такие, что: а) $$7x+12y=50$$; в) $$5x-y=17$$; б) $$11x+18y=98$$; г) $$5x-11y=137$$.

а) $$7x+12y=50.$$

Так как $$50-12y$$ должно делиться на $$7$$, рассмотрим уравнение по модулю $$7$$:

$$12y \equiv 50 \pmod 7,$$

то есть

$$5y \equiv 1 \pmod 7.$$

Подходит $$y=3$$, тогда

$$7x+12\cdot 3=50,$$

$$7x=14,$$

$$x=2.$$

Проверка: $$7\cdot 2+12\cdot 3=14+36=50.$$

б) $$11x+18y=98.$$

По модулю $$11$$ получаем:

$$18y \equiv 98 \pmod{11},$$

то есть

$$7y \equiv 10 \pmod{11}.$$

Подходит $$y=3$$, тогда

$$11x+18\cdot 3=98,$$

$$11x=44,$$

$$x=4.$$

Проверка: $$11\cdot 4+18\cdot 3=44+54=98.$$

в) $$5x-y=17.$$

Выразим $$y$$:

$$y=5x-17.$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$y>0$$, значит

$$5x-17>0,$$

$$x>\frac{17}{5},$$

откуда $$x\ge 4.$$

Пусть $$x=4+n$$, где $$n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$$. Тогда

$$y=5(4+n)-17=3+5n.$$

Следовательно, все натуральные решения имеют вид

$$x=4+n,\quad y=5n+3,\quad n\in \mathbb{N}\cup\{0\}.$$

г) $$5x-11y=137.$$

Запишем так:

$$5x-137=11y.$$

Значит, число $$5x-137$$ делится на $$11$$. По модулю $$11$$:

$$5x \equiv 137 \pmod{11},$$

$$5x \equiv 5 \pmod{11}.$$

Отсюда

$$x \equiv 1 \pmod{11},$$

то есть

$$x=11n+1,\quad n\in \mathbb{N}\cup\{0\}.$$

Тогда

$$y=\frac{5(11n+1)-137}{11}=\frac{55n-132}{11}=5n-12.$$

Чтобы $$y$$ было натуральным, нужно $$5n-12>0$$, значит $$n\ge 3.$$

Итак, все натуральные решения:

$$x=11n+1,\quad y=5n-12,\quad n\ge 3.$$

Ответ

а) $$x=2,\ y=3$$; б) $$x=4,\ y=3$$; в) $$x=4+n,\ y=5n+3,\ n\in \mathbb{N}\cup\{0\}$$; г) $$x=11n+1,\ y=5n-12,\ n\ge 3.$$