Упр.9.4 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=\cos x$$ на заданном промежутке:
   а) $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right]$$;
   б) $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$;
   в) $$\left[-\frac{5\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$;
   г) $$\left(-\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{6}\right]$$;
   д) $$(-3;4]$$;
   е) $$[-1;10)$$.

Функция $$y=\cos x$$ принимает значения от $$-1$$ до $$1$$. На каждом из данных промежутков находим, какие из этих значений достигаются.

1. $$\left[\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right]$$

   На этом промежутке косинус убывает, значит:

   $$y_{\max}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad y_{\min}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

2. $$\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$y_{\max}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad y_{\min}=\cos\frac{\pi}{2}=0.$$

3. $$\left[-\frac{5\pi}{6};\frac{2\pi}{3}\right]$$

   $$y_{\max}=\cos 0=1, \qquad y_{\min}=\cos\left(-\frac{5\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

4. $$\left(-\frac{2\pi}{3};\frac{5\pi}{6}\right]$$

   $$y_{\max}=\cos 0=1, \qquad y_{\min}=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

5. $$(-3;4]$$

   На промежутке есть точка $$x=0$$, поэтому $$y_{\max}=1$$. Наименьшее значение не достигается, так как точка $$x=\pi$$ не входит в промежуток, а $$\cos \pi=-1$$.

6. $$[-1;10)$$

   На промежутке есть точка $$x=0$$, поэтому $$y_{\max}=1$$. Наименьшее значение достигается при $$x=\pi$$:

   $$y_{\min}=\cos\pi=-1.$$

Ответ:

а) $$y_{\min}=\frac12,\ y_{\max}=\frac{\sqrt3}{2}$$;
б) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=\frac{\sqrt2}{2}$$;
в) $$y_{\min}=-\frac{\sqrt3}{2},\ y_{\max}=1$$;
г) $$y_{\min}=-\frac{\sqrt3}{2},\ y_{\max}=1$$;
д) $$y_{\max}=1,$$ наименьшего значения нет;
е) $$y_{\min}=-1,\ y_{\max}=1.$$