Упр.9.3 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$. Найдите:
   а) $$f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)$$;
   б) $$f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$;
   в) $$f(\pi-x)$$;
   г) $$f(x-\pi)$$;
   д) $$f(x)-f(-x)$$;
   е) $$f(x+\pi)-f\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)$$.

Пусть $$f(x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$ Тогда подставим вместо аргумента нужные выражения.

1. $$f\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$
2. $$f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{5\pi}{6}-x\right).$$
3. $$f(\pi-x)=\cos\left(\pi-x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(\frac{4\pi}{3}-x\right).$$
4. $$f(x-\pi)=\cos\left(x-\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\left(x-\frac{2\pi}{3}\right).$$
5. $$f(x)-f(-x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(-x+\frac{\pi}{3}\right).$$
   Так как $$\cos(-x+\frac{\pi}{3})=\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right),$$ то
   $$f(x)-f(-x)=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$
   По формуле разности косинусов:
   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},$$
   получаем
   $$f(x)-f(-x)=-2\sin x\sin\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}\sin x.$$
6. $$f(x+\pi)-f\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)=\cos\left(x+\pi+\frac{\pi}{3}\right)-\cos\left(\frac{2\pi}{3}-x+\frac{\pi}{3}\right).$$
   Тогда
   $$f(x+\pi)-f\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)=\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)-\cos(\pi-x).$$
   Так как $$\cos(\pi-x)=-\cos x,$$ то
   $$f(x+\pi)-f\left(\frac{2\pi}{3}-x\right)=\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)+\cos x.$$
   По формуле суммы косинусов:
   $$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2},$$
   имеем
   $$\cos\left(x+\frac{4\pi}{3}\right)+\cos x=2\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\frac{2\pi}{3}=-\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right).$$

Ответ: а) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$; б) $$\cos\left(\frac{5\pi}{6}-x\right)$$; в) $$\cos\left(\frac{4\pi}{3}-x\right)$$; г) $$\cos\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)$$; д) $$-\sqrt{3}\sin x$$; е) $$-\cos\left(x+\frac{2\pi}{3}\right).$$