Упр.9.24 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
Решите систему уравнений:
а) $$x^2-y^2=7$$ и $$3x+5y=3$$;
б) $$x^2y^2-xy=12$$ и $$4x+y=1$$;
в) $$x^2-2y^2=17$$ и $$2x+7y=-4$$;
г) $$\frac{12}{x^2y^2}-\frac{4}{xy}=1$$ и $$2x-y=3$$.
а) Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$3x+5y=3 \Rightarrow y=\frac{3-3x}{5}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2-\left(\frac{3-3x}{5}\right)^2=7.$$
Умножим на $$25$$:
$$25x^2-(3-3x)^2=175.$$
$$25x^2-(9-18x+9x^2)=175,$$
$$16x^2+18x-184=0,$$
$$8x^2+9x-92=0.$$
$$D=9^2-4\cdot 8\cdot(-92)=3025=55^2.$$
$$x_1=\frac{-9+55}{16}=\frac{23}{8}, \qquad x_2=\frac{-9-55}{16}=-4.$$
Тогда
$$y_1=\frac{3-3\cdot \frac{23}{8}}{5}=-\frac{9}{8}, \qquad y_2=\frac{3-3\cdot(-4)}{5}=3.$$
Ответ: $$\left(\frac{23}{8};-\frac{9}{8}\right),\ (-4;3).$$
б) Из второго уравнения:
$$4x+y=1 \Rightarrow y=1-4x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2y^2-xy=12.$$
Положим $$t=xy$$. Тогда
$$t^2-t=12,$$
$$t^2-t-12=0,$$
$$(t-4)(t+3)=0.$$
Значит, $$t=4$$ или $$t=-3$$.
1) Если $$xy=4$$, то вместе с $$y=1-4x$$ получаем
$$x(1-4x)=4,$$
$$4x^2-x+4=0,$$
$$D=1-64=-63<0,$$
действительных решений нет.
2) Если $$xy=-3$$, то
$$x(1-4x)=-3,$$
$$4x^2-x-3=0,$$
$$D=1+48=49,$$
$$x_1=1,\qquad x_2=-\frac{3}{4}.$$
Тогда
$$y_1=1-4\cdot 1=-3,\qquad y_2=1-4\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)=4.$$
Ответ: $$(1;-3),\ \left(-\frac{3}{4};4\right).$$
в) Из второго уравнения:
$$2x+7y=-4 \Rightarrow x=\frac{-4-7y}{2}.$$
Подставим в первое уравнение:
$$x^2-2y^2=17.$$
Получаем
$$\left(\frac{-4-7y}{2}\right)^2-2y^2=17,$$
$$\frac{(4+7y)^2}{4}-2y^2=17.$$
Умножим на $$4$$:
$$16+56y+49y^2-8y^2=68,$$
$$41y^2+56y-52=0.$$
$$D=56^2-4\cdot 41\cdot(-52)=14400=120^2.$$
$$y_1=\frac{-56+120}{82}=\frac{32}{41}, \qquad y_2=\frac{-56-120}{82}=-\frac{88}{41}.$$
Тогда
$$x_1=\frac{-4-7\cdot \frac{32}{41}}{2}=-\frac{150}{41}, \qquad x_2=\frac{-4-7\cdot\left(-\frac{88}{41}\right)}{2}=\frac{250}{41}.$$
Ответ: $$\left(-\frac{150}{41};\frac{32}{41}\right),\ \left(\frac{250}{41};-\frac{88}{41}\right).$$
г) Введём замену:
$$t=xy,\qquad t\ne 0.$$
Тогда система принимает вид
$$\frac{12}{t^2}-\frac{4}{t}=1,$$
$$2x-y=3.$$
Из первого уравнения:
$$12-4t=t^2,$$
$$t^2+4t-12=0,$$
$$(t+6)(t-2)=0.$$
Значит, $$t=-6$$ или $$t=2$$.
1) Если $$xy=-6$$, то из $$2x-y=3$$ имеем $$y=2x-3$$, и
$$x(2x-3)=-6,$$
$$2x^2-3x+6=0.$$
$$D=9-48=-39<0,$$
действительных решений нет.
2) Если $$xy=2$$, то
$$x(2x-3)=2,$$
$$2x^2-3x-2=0,$$
$$D=9+16=25,$$
$$x_1=2,\qquad x_2=-\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$y_1=2\cdot 2-3=1,\qquad y_2=2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)-3=-4.$$
Ответ: $$(2;1),\ \left(-\frac{1}{2};-4\right).$$
