Упр.9.20 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- Постройте график функции: а) $$y=|\cos x|$$; б) $$y=\cos\left|x+\frac{\pi}{3}\right|$$; в) $$y=\left|\cos x-\frac{1}{2}\right|$$; г) $$y=\cos|x|$$.
Построим графики, используя преобразования графика функции $$y=\cos x$$.
а) $$y=|\cos x|$$
Так как модуль не меняет знак функции, то все участки графика $$y=\cos x$$, лежащие ниже оси $$Ox$$, отражаются симметрично вверх относительно этой оси.
Получаем периодическую функцию с периодом $$\pi$$. Нули: $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$$. Максимумы равны $$1$$.
б) $$y=\cos\left|x+\dfrac{\pi}{3}\right|$$
Так как косинус — чётная функция, то
$$\cos\left|x+\dfrac{\pi}{3}\right|=\cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).$$
Значит, это график функции $$y=\cos x$$, сдвинутый влево на $$\dfrac{\pi}{3}$$.
в) $$y=\left|\cos x-\dfrac12\right|$$
Сначала строим график $$y=\cos x-\dfrac12$$, то есть график $$y=\cos x$$, сдвинутый вниз на $$\dfrac12$$. Затем часть графика, лежащую ниже оси $$Ox$$, отражаем вверх.
Точки пересечения с осью $$Ox$$ находятся из уравнения
$$\cos x-\dfrac12=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=\dfrac12,$$
откуда
$$x=\pm \dfrac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
г) $$y=\cos|x|$$
Так как косинус — чётная функция, то
$$\cos|x|=\cos x.$$
Следовательно, график совпадает с графиком функции $$y=\cos x$$.
Ответ: графики получаются из графика $$y=\cos x$$ указанными преобразованиями: в пункте а) — отражение отрицательных частей вверх, в пункте б) — сдвиг влево на $$\dfrac{\pi}{3}$$, в пункте в) — сдвиг вниз на $$\dfrac12$$ и отражение отрицательной части вверх, в пункте г) — тот же график $$y=\cos x$$.
