Упр.9.19 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- Докажите, что функция $$y=\cos x$$: а) возрастает на интервале $$(10;12)$$; б) убывает на отрезке $$[-6;-3{,}5]$$; в) достигает своих наименьшего и наибольшего значений на интервале $$(17;\sqrt{500})$$; г) не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значений на интервале $$(7;9)$$.
Функция $$y=\cos x$$ имеет следующие свойства:
она возрастает на промежутках вида $$[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\quad n\in\mathbb Z,$$
и убывает на промежутках вида $$[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\in\mathbb Z.$$
а) Интервал $$\left(10;\,12\right)$$ целиком лежит в промежутке $$[3\pi;\,4\pi],$$ так как $$3\pi\approx 9{,}42,\qquad 4\pi\approx 12{,}57.$$
На промежутке $$[3\pi;\,4\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ возрастает, значит, она возрастает и на $$\left(10;\,12\right).$$
б) Отрезок $$[-6;\,-3{,}5]$$ целиком лежит в промежутке $$[-2\pi;\,-\pi],$$ так как $$-2\pi\approx -6{,}28,\qquad -\pi\approx -3{,}14.$$
На промежутке $$[-2\pi;\,-\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ убывает, значит, она убывает и на $$[-6;\,-3{,}5].$$
в) Интервал $$\left(17;\,\sqrt{500}\right)$$ лежит между числами
$$5\pi\approx 15{,}71,\qquad 6\pi\approx 18{,}85,$$
то есть внутри промежутка $$[5\pi;\,6\pi],$$ на котором функция $$y=\cos x$$ возрастает.
Так как на открытом интервале $$\left(17;\,\sqrt{500}\right)$$ функция непрерывна и строго возрастает, то она достигает на нём и наименьшего, и наибольшего значений: наименьшего — вблизи левого конца, наибольшего — вблизи правого конца.
г) Интервал $$\left(7;\,9\right)$$ целиком лежит в промежутке $$[2\pi;\,3\pi],$$ поскольку $$2\pi\approx 6{,}28,\qquad 3\pi\approx 9{,}42.$$
На $$[2\pi;\,3\pi]$$ функция $$y=\cos x$$ убывает. Но на открытом интервале $$\left(7;\,9\right)$$ концы не входят, поэтому значения $$1$$ и $$-1$$ не достигаются. Следовательно, на $$\left(7;\,9\right)$$ функция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Ответ
а) возрастает на $$\left(10;\,12\right)$$; б) убывает на $$[-6;\,-3{,}5]$$; в) достигает наибольшего и наименьшего значений на $$\left(17;\,\sqrt{500}\right)$$; г) не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значений на $$\left(7;\,9\right).$$
