Упр.9.18 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Найдите область определения функции:

1. $$y=\frac{\sqrt{x-1}}{\cos x}$$
2. $$y=\frac{\sqrt{9-x^2}}{\cos 2x}$$
3. $$y=\frac{\sqrt{x^2-11x+10}}{\cos 3x}$$
4. $$y=\frac{\sqrt{x^3-5x^2+6x}}{\cos x}$$

Найдём область определения каждой функции, учитывая, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличным от нуля.

1. $$y=\dfrac{\sqrt{x-1}}{\cos x}$$

   Требуется:

   $$x-1\ge 0,\qquad \cos x\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\ge 1,\qquad x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Значит,

   $$D=\left[1;+\infty\right)\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\}.$$

2. $$y=\dfrac{\sqrt{9-x^2}}{\cos 2x}$$

   Требуется:

   $$9-x^2\ge 0,\qquad \cos 2x\ne 0.$$

   Отсюда

   $$-3\le x\le 3,\qquad 2x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   То есть

   $$x\ne \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$D=\left[-3;3\right]\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z\right\}.$$

3. $$y=\dfrac{\sqrt{x^2-11x+10}}{\cos 3x}$$

   Требуется:

   $$x^2-11x+10\ge 0,\qquad \cos 3x\ne 0.$$

   Разложим квадратный трёхчлен на множители:

   $$x^2-11x+10=(x-1)(x-10).$$

   Тогда

   $$(x-1)(x-10)\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le 1 \text{ или } x\ge 10.$$

   Кроме того,

   $$3x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z,$$

   то есть

   $$x\ne \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z.$$

   Итак,

   $$D=\left((-\infty;1]\cup[10;+\infty)\right)\setminus\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z\right\}.$$

4. $$y=\dfrac{\sqrt{x^3-5x^2+6x}}{\cos x}$$

   Требуется:

   $$x^3-5x^2+6x\ge 0,\qquad \cos x\ne 0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^3-5x^2+6x=x(x-2)(x-3).$$

   Решаем неравенство:

   $$x(x-2)(x-3)\ge 0.$$

   По знакам на промежутках получаем

   $$x\in[0;2]\cup[3;+\infty).$$

   И дополнительно

   $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$D=\left([0;2]\cup[3;+\infty)\right)\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\}.$$

Ответ:

$$\begin{aligned} &\text{а) } D=\left[1;+\infty\right)\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\};\\ &\text{б) } D=\left[-3;3\right]\setminus\left\{\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z\right\};\\ &\text{в) } D=\left((-\infty;1]\cup[10;+\infty)\right)\setminus\left\{\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z\right\};\\ &\text{г) } D=\left([0;2]\cup[3;+\infty)\right)\setminus\left\{\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z\right\}. \end{aligned}$$