Упр.9.17 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos x\sqrt{9-x^2}\le 0$$; б) $$\cos x\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0$$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а)

$$\cos x\cdot \sqrt{9-x^2}\le 0$$

Сначала найдём область определения:

$$9-x^2\ge 0 \quad \Rightarrow \quad -3\le x\le 3.$$

Так как $$\sqrt{9-x^2}\ge 0,$$ то произведение $$\cos x\cdot \sqrt{9-x^2}$$ не положительно, когда:

• $$\sqrt{9-x^2}=0,$$ то есть $$x=\pm 3;$$
• или $$\cos x\le 0$$ при $$-3<x<3.$$

На отрезке $$[-3,3]$$ неравенство $$\cos x\le 0$$ выполняется при

$$x\in\left[-3,-\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2},3\right].$$

С учётом концов отрезка получаем:

$$x\in\left[-3,-\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2},3\right].$$

б)

$$\cos x\cdot \sqrt{14+5x-x^2}\ge 0$$

Найдём область определения:

$$14+5x-x^2\ge 0$$

$$x^2-5x-14\le 0$$

$$\left(x+2\right)\left(x-7\right)\le 0,$$

откуда

$$x\in[-2,7].$$

Так как $$\sqrt{14+5x-x^2}\ge 0,$$ то произведение неотрицательно, когда:

• $$\sqrt{14+5x-x^2}=0,$$ то есть $$x=-2$$ или $$x=7;$$
• или $$\cos x\ge 0$$ при $$x\in(-2,7).$$

На промежутке $$[-2,7]$$ условие $$\cos x\ge 0$$ выполняется при

$$x\in\left[-2,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},7\right].$$

Следовательно,

$$x\in\left[-2,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},7\right].$$

Ответ

а) $$x\in\left[-3,-\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{\pi}{2},3\right];$$

б) $$x\in\left[-2,\frac{\pi}{2}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{2},7\right].$$