Упр.9.16 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Решите неравенство.

а) $$\cos x \ge -|x+\pi|-1$$

б) $$\cos x \ge (x-2\pi)^2+1$$

Рассмотрим каждое неравенство отдельно.

1. $$\cos x \ge -|x+\pi|-1.$$

   Так как $$-|x+\pi|-1 \le -1,$$ а $$\cos x \ge -1$$ при всех $$x \in \mathbb{R},$$ то достаточно проверить, когда правая часть равна $$-1.$$

   Имеем:

   $$-|x+\pi|-1=-1 \iff |x+\pi|=0 \iff x=-\pi.$$

   При $$x=-\pi$$ получаем:

   $$\cos(-\pi)=-1,$$

   то есть неравенство выполняется. При остальных значениях $$x$$ правая часть меньше $$-1,$$ а значит $$\cos x \ge -|x+\pi|-1$$ также верно.

   Следовательно, решение первого неравенства:

   $$x \in \mathbb{R}.$$

2. $$\cos x \ge (x-2\pi)^2+1.$$

   Так как $$\cos x \le 1$$ при всех $$x \in \mathbb{R},$$ а

   $$(x-2\pi)^2+1 \ge 1,$$

   то для выполнения неравенства нужно, чтобы одновременно было

   $$\cos x=1 \quad \text{и} \quad (x-2\pi)^2+1=1.$$

   Из второго равенства:

   $$(x-2\pi)^2=0 \iff x=2\pi.$$

   Проверим:

   $$\cos 2\pi=1,\qquad (2\pi-2\pi)^2+1=1.$$

   Значит, это значение подходит.

   Следовательно, решение второго неравенства:

   $$x=2\pi.$$

Ответ: а) $$x \in \mathbb{R}$$; б) $$x=2\pi$$.