Упр.9.13 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является нечётной, если:

1. а) $$f(x)=x^3+x\cos x$$;
   б) $$f(x)=x^5\cos x$$;
   в) $$f(x)=\frac{\cos^3 x}{x^3}-x$$;
   г) $$f(x)=2x^5-x\cos x$$;
   д) $$f(x)=-x^9\cos x$$;
   е) $$f(x)=\frac{x^5-x^3}{\cos x}$$.

Проверим для каждой функции, что $$f(-x)=-f(x).$$

1. $$f(x)=x^3+x\cos x$$

   $$f(-x)=(-x)^3+(-x)\cos(-x)=-x^3-x\cos x=-f(x).$$

2. $$f(x)=x^5\cos x$$

   $$f(-x)=(-x)^5\cos(-x)=-x^5\cos x=-f(x).$$

3. $$f(x)=\frac{\cos^3 x}{x^3-x}$$

   $$f(-x)=\frac{\cos^3(-x)}{(-x)^3-(-x)}=\frac{\cos^3 x}{-x^3+x}=-\frac{\cos^3 x}{x^3-x}=-f(x).$$

4. $$f(x)=2x^5-x\cos x$$

   $$f(-x)=2(-x)^5-(-x)\cos(-x)=-2x^5+x\cos x=-f(x).$$

5. $$f(x)=-x^9\cos x$$

   $$f(-x)=-(-x)^9\cos(-x)=x^9\cos x=-f(x).$$

6. $$f(x)=\frac{x^5-x^3}{\cos x}$$

   $$f(-x)=\frac{(-x)^5-(-x)^3}{\cos(-x)}=\frac{-x^5+x^3}{\cos x}=-\frac{x^5-x^3}{\cos x}=-f(x).$$

Во всех случаях $$f(-x)=-f(x),$$ значит, каждая из данных функций является нечётной.

Ответ: все функции нечётные.