Упр.9.12 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$y=f(x)$$ является чётной, если:

а) $$f(x)=x^2+\cos x$$;

б) $$f(x)=|x|\cdot\cos x$$;

в) $$f(x)=\frac{\cos^2 x}{x^2-1}$$;

г) $$f(x)=|x|-\cos x$$;

д) $$f(x)=(x^2+3)\cdot\cos x$$;

е) $$f(x)=\frac{x^2-4}{\cos^3 x}$$.

Проверим, что для каждого случая выполняется равенство $$f(-x)=f(x).$$

1. $$f(-x)=(-x)^2+\cos(-x)=x^2+\cos x=f(x).$$
2. $$f(-x)=|-x|\cdot \cos(-x)=|x|\cdot \cos x=f(x).$$
3. $$f(-x)=\frac{\cos^2(-x)}{(-x)^2-1}=\frac{\cos^2 x}{x^2-1}=f(x).$$
4. $$f(-x)=|-x|-\cos(-x)=|x|-\cos x=f(x).$$
5. $$f(-x)=\bigl((-x)^2+3\bigr)\cos(-x)=(x^2+3)\cos x=f(x).$$
6. $$f(-x)=\frac{(-x)^2-4}{\cos^3(-x)}=\frac{x^2-4}{\cos^3 x}=f(x).$$

Во всех случаях $$f(-x)=f(x)$$, значит, функция $$y=f(x)$$ чётная.

Ответ

а) чётная; б) чётная; в) чётная; г) чётная; д) чётная; е) чётная.