Упр.9.10 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos x=\sqrt{x-\frac{\pi}{2}}$$; б) $$\cos x=x^2+1$$; в) $$\cos x=x^3+1$$; г) $$\cos x=\sqrt{x}+1$$; д) $$\cos x=(x-\pi)^2-1$$; е) $$\cos x=-x^3+1$$.

Найдём точки пересечения графика функции $$y=\cos x$$ с графиками данных функций. Для этого достаточно проверить, при каких значениях $$x$$ правая часть равна значению косинуса.

1. $$\cos x=\sqrt{x-\frac{\pi}{2}}$$

   Так как $$\sqrt{x-\frac{\pi}{2}}\ge 0$$, а $$\cos x\le 1$$, проверим значение $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$\cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sqrt{\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}}=0.$$

   Значит, $$x=\frac{\pi}{2}$$.

2. $$\cos x=x^2+1$$

   Так как $$\cos x\le 1$$, то должно быть $$x^2+1\le 1$$, откуда $$x=0$$.

   Проверка: $$\cos 0=1,\qquad 0^2+1=1.$$

   Значит, $$x=0$$.

3. $$\cos x=x^3+1$$

   Из неравенства $$\cos x\le 1$$ следует $$x^3+1\le 1$$, то есть $$x^3\le 0$$. Проверим $$x=0$$:

   $$\cos 0=1,\qquad 0^3+1=1.$$

   Значит, $$x=0$$.

4. $$\cos x=\sqrt{x}+1$$

   Так как $$\sqrt{x}+1\ge 1$$, а $$\cos x\le 1$$, возможно только равенство $$\cos x=1$$ и $$\sqrt{x}=0$$.

   Отсюда $$x=0$$.

5. $$\cos x=(x-\pi)^2-1$$

   Так как $$\cos x\ge -1$$, то должно быть $$(x-\pi)^2-1\ge -1$$, то есть $$(x-\pi)^2\ge 0$$. Проверим $$x=\pi$$:

   $$\cos \pi=-1,\qquad (\pi-\pi)^2-1=-1.$$

   Значит, $$x=\pi$$.

6. $$\cos x=-x^3+1$$

   Из условия $$\cos x\le 1$$ получаем $$-x^3+1\le 1$$, то есть $$x^3\ge 0$$. Проверим $$x=0$$:

   $$\cos 0=1,\qquad -0^3+1=1.$$

   Значит, $$x=0$$.

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}$$; б) $$x=0$$; в) $$x=0$$; г) $$x=0$$; д) $$x=\pi$$; е) $$x=0$$.