Упр.8.6 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) Докажите, что $$4\pi$$ является периодом функции $$y=\cos\frac{x}{2}$$.
   б) Докажите, что $$\frac{2\pi}{3}$$ является периодом функции $$y=\sin 3x$$.

Проверим, что при указанном приращении значение функции не изменяется.

а) Для функции $$y=\cos\frac{x}{2}$$ имеем:

$$f(x+4\pi)=\cos\frac{x+4\pi}{2}=\cos\left(\frac{x}{2}+2\pi\right)=\cos\frac{x}{2}=f(x).$$

Значит, $$4\pi$$ — период функции $$y=\cos\frac{x}{2}$$.

б) Для функции $$y=\sin 3x$$ имеем:

$$f\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left(3\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)\right)=\sin(3x+2\pi)=\sin 3x=f(x).$$

Значит, $$\frac{2\pi}{3}$$ — период функции $$y=\sin 3x$$.

Ответ: а) $$4\pi$$; б) $$\frac{2\pi}{3}$$.