Упр.8.5 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
Функция $$y=f(x)$$ — периодическая с периодом $$T=3$$. Известно, что на промежутке $$[0;3)$$ функция задаётся правилом $$f(x)=x^2-3$$. Решите: а) уравнение $$f(x)=-2$$; б) неравенство $$f(x)>1$$; в) уравнение $$f(x)=1$$; г) неравенство $$f(x)<-2$$.
Так как функция периодическая с периодом $$T=3,$$ достаточно сначала решить задания на промежутке $$[0;3).$$
а)
Решаем уравнение
$$x^2-3=-2.$$
Тогда
$$x^2=1,$$
$$x=\pm 1.$$
С учётом периодичности получаем
$$x=1+3k \quad \text{или} \quad x=-1+3k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
б)
Решаем неравенство
$$x^2-3>1.$$
Тогда
$$x^2>4,$$
$$x>2 \quad \text{или} \quad x<-2.$$
На промежутке $$[0;3)$$ это даёт
$$x\in(2;3).$$
С учётом периода
$$x\in(2+3k;\,3+3k),\quad k\in \mathbb{Z}.$$
в)
Решаем уравнение
$$x^2-3=1.$$
Тогда
$$x^2=4,$$
$$x=\pm 2.$$
На промежутке $$[0;3)$$ подходит только $$x=2.$$
Следовательно,
$$x=2+3k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
г)
Решаем неравенство
$$x^2-3<-2.$$
Тогда
$$x^2<1,$$
$$-1<x<1.$$
На промежутке $$[0;3)$$ получаем
$$x\in[0;1).$$
С учётом периода
$$x\in[3k;\,1+3k),\quad k\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x=1+3k$$ или $$x=-1+3k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
б) $$x\in(2+3k;\,3+3k),\ k\in\mathbb{Z}.$$
в) $$x=2+3k,\ k\in\mathbb{Z}.$$
г) $$x\in[3k;\,1+3k),\ k\in\mathbb{Z}.$$
