Упр.8.4 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Докажите: а) если $$2$$ — период функции $$y=f(x)$$, то $$4$$ — также период данной функции; б) если $$5$$ — период функции $$y=f(x)$$, то $$5$$ — период функции $$y=-3f(2-x)+25$$; в) если $$3$$ — период функции $$y=f(x)$$, то $$6$$ — также период данной функции; г) если $$9$$ — период функции $$y=f(x)$$, то $$9$$ — период функции $$y=f(x+2)-1$$.

Проверим периодичность по определению: если для всех $$x$$ выполняется $$f(x+T)=f(x),$$ то число $$T$$ — период функции.

Ход решения

1. Если $$2$$ — период функции $$y=f(x)$$, то
   $$f(x+2)=f(x).$$
   Тогда
   $$f(x+4)=f((x+2)+2)=f(x+2)=f(x),$$
   значит, $$4$$ тоже период функции.
2. Пусть $$5$$ — период функции $$y=f(x)$$. Рассмотрим функцию
   $$g(x)=-3f(2-x)+25.$$
   Тогда
   $$g(x+5)=-3f(2-(x+5))+25=-3f((2-x)-5)+25.$$
   Так как $$5$$ — период функции $$f(x)$$, то
   $$f((2-x)-5)=f(2-x),$$
   следовательно,
   $$g(x+5)=-3f(2-x)+25=g(x).$$
   Значит, $$5$$ — период функции $$y=-3f(2-x)+25$$.
3. Если $$3$$ — период функции $$y=f(x)$$, то
   $$f(x+3)=f(x).$$
   Тогда
   $$f(x+6)=f((x+3)+3)=f(x+3)=f(x),$$
   значит, $$6$$ также период функции.
4. Пусть $$9$$ — период функции $$y=f(x)$$. Рассмотрим функцию
   $$g(x)=f(x+2)-1.$$
   Тогда
   $$g(x+9)=f((x+9)+2)-1=f(x+11)-1.$$
   Так как $$9$$ — период функции $$f(x)$$, то
   $$f(x+11)=f(x+2),$$
   следовательно,
   $$g(x+9)=f(x+2)-1=g(x).$$
   Значит, $$9$$ — период функции $$y=f(x+2)-1$$.

Ответ

а) $$4$$ — период функции; б) $$5$$ — период функции; в) $$6$$ — период функции; г) $$9$$ — период функции.