Упр.8.3 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Функция $$y=f(x)$$ — периодическая с периодом $$T=5$$. Известно, что на промежутке $$\left(1;6\right]$$ функция задаётся правилом $$f(x)=\frac{5}{x-1}-2$$. а) Постройте график функции $$y=f(x)$$ на всей числовой прямой. б) Найдите $$f(-4), f(-2), f(0), f(6), f(12)$$. в) Найдите, при каких значениях $$x$$ $$f(x)=-2$$, $$f(x)=1$$. г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции.

Так как функция периодическая с периодом $$T=5,$$ то для любого числа $$x$$ выполняется равенство $$f(x)=f(x+5k),$$ где $$k\in \mathbb{Z}.$$

На промежутке $$\left(1;6\right]$$ задано правило

$$f(x)=\frac{5}{x-1}-2.$$

Значит, на всей числовой прямой график функции получается повторением этого участка с шагом 5.

а)

График на всей прямой строится переносом графика участка $$\left(1;6\right]$$ на $$5$$ единиц вправо и влево. На каждом таком промежутке функция задаётся той же формулой, что и на $$\left(1;6\right].$$

б)

Используем периодичность:

$$f(-4)=f(1)$$

Но $$x=1$$ не входит в промежуток $$\left(1;6\right],$$ поэтому значение в этой точке берём по соседнему периоду: $$-4+5=1,$$ а значит

$$f(-4)=f(6)=\frac{5}{6-1}-2=1-2=-1.$$

Аналогично:

$$f(-2)=f(3)=\frac{5}{3-1}-2=\frac{5}{2}-2=\frac12,$$

$$f(0)=f(5)=\frac{5}{5-1}-2=\frac54-2=-\frac34,$$

$$f(6)=\frac{5}{6-1}-2=-1,$$

$$f(12)=f(2)=\frac{5}{2-1}-2=3.$$

в)

Решим уравнения на основном промежутке $$\left(1;6\right].$$

1) $$f(x)=-2$$

$$\frac{5}{x-1}-2=-2$$

$$\frac{5}{x-1}=0.$$

Это невозможно, значит, решений нет.

2) $$f(x)=1$$

$$\frac{5}{x-1}-2=1$$

$$\frac{5}{x-1}=3$$

$$x-1=\frac53$$

$$x=\frac83.$$

С учётом периода получаем

$$x=\frac83+5k,\quad k\in\mathbb{Z}.$$

г)

На промежутке $$\left(1;6\right]$$ функция

$$f(x)=\frac{5}{x-1}-2$$

убывает. При $$x\to 1+$$ имеем $$f(x)\to +\infty,$$ а при $$x=6$$ получаем $$f(6)=-1.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-1,$$ а наибольшего значения нет.

Ответ

б) $$f(-4)=-1,\quad f(-2)=\frac12,\quad f(0)=-\frac34,\quad f(6)=-1,\quad f(12)=3.$$

в) $$f(x)=-2$$ — решений нет; $$f(x)=1$$ при $$x=\frac83+5k,\ k\in\mathbb{Z}.$$

г) наименьшее значение $$-1,$$ наибольшего значения нет.