Упр.8.2 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- Функция $$y=f(x)$$ — периодическая с периодом $$T=4$$. Известно, что на промежутке $$[-1;3)$$ функция задаётся правилом $$f(x)=\sqrt{x+1}-1$$.
а) Постройте график функции $$y=f(x)$$ на всей числовой прямой.
б) Найдите $$f(-5)$$, $$f(-1)$$, $$f(0)$$, $$f(4)$$, $$f(7)$$.
в) Найдите, при каких значениях $$x$$ $$f(x)=-1$$, $$f(x)=1$$.
г) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции.
Так как функция периодическая с периодом $$T=4,$$ то для любого числа $$x$$ выполняется равенство $$f(x)=f(x+4k), \quad k\in \mathbb{Z}.$$
а)
На промежутке $$[-1;3)$$ задана функция
$$f(x)=\sqrt{x+1}-1.$$
Её график на всей числовой прямой получаем периодическим повторением этого участка с шагом $$4.$$
На одном периоде график проходит через точки:
$$(-1,-1), \quad (0,0), \quad (3,1),$$
причём точка $$(-1,-1)$$ принадлежит графику, а точка $$(3,1)$$ не принадлежит, так как $$x=3$$ не входит в промежуток $$[-1;3).$$
б)
Используем периодичность:
$$f(-5)=f(-1)=-1,$$
$$f(-1)=\sqrt{-1+1}-1=-1,$$
$$f(0)=\sqrt{0+1}-1=0,$$
$$f(4)=f(0)=0,$$
$$f(7)=f(3)=f(-1)=-1.$$
в)
Найдём, при каких значениях $$x$$ выполняются равенства.
1) $$f(x)=-1$$
$$\sqrt{x+1}-1=-1,$$
$$\sqrt{x+1}=0,$$
$$x+1=0,$$
$$x=-1.$$
С учётом периода получаем:
$$x=-1+4k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
2) $$f(x)=1$$
$$\sqrt{x+1}-1=1,$$
$$\sqrt{x+1}=2,$$
$$x+1=4,$$
$$x=3.$$
Но $$3\notin [-1;3),$$ поэтому в одном периоде решения нет. С учётом периодичности:
$$x=3+4k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$
г)
На промежутке $$[-1;3)$$ функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=-1$$:
$$f_{\min}=-1.$$
Наибольшего значения функция не имеет, так как при $$x\to 3-$$
$$f(x)=\sqrt{x+1}-1\to 1,$$
но значение $$1$$ не достигается на данном промежутке. Следовательно, наибольшего значения нет.
Ответ
б) $$f(-5)=-1,\ f(-1)=-1,\ f(0)=0,\ f(4)=0,\ f(7)=-1.$$
в) $$f(x)=-1$$ при $$x=-1+4k,\ k\in \mathbb{Z};$$ $$f(x)=1$$ при $$x=3+4k,\ k\in \mathbb{Z}.$$
г) Наименьшее значение: $$-1$$, наибольшего значения нет.
