Упр.8.15 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=f(x)$$, где
$$f(x)= \begin{cases} -x^2-4x, & x<0,\\ \sqrt{x}, & 0\leq x. \end{cases}$$ а) Постройте график функции $$y=f(x)$$.
б) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $$[-3;1]$$.
в) При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет два корня?
г) Решите неравенство $$f(x)>0$$.
Функция задана по частям:
$$f(x)= \begin{cases} -x^2-4x, & x<0,\\ \sqrt{x}, & x\ge 0. \end{cases}$$
а) График функции
При $$x<0$$ строим параболу $$y=-x^2-4x=-(x+2)^2+4$$, ветви направлены вниз. Для этой части удобно отметить точки:
$$(-4,0),\;(-2,4),\;(0,0).$$
При $$x\ge 0$$ строим график функции $$y=\sqrt{x}$$, он начинается в точке $$(0,0)$$ и проходит, например, через точки $$(1,1),\,(4,2).$$
б) Наибольшее и наименьшее значения на отрезке $$[-3;1]$$
На отрезке $$[-3;0)$$ рассматриваем функцию $$y=-x^2-4x$$. Это парабола, её вершина имеет абсциссу
$$x=-\frac{-4}{2\cdot(-1)}=-2,$$
и значение в вершине равно
$$f(-2)=-(-2)^2-4(-2)=-4+8=4.$$
На концах и в точке смены формулы получаем:
$$f(-3)=-9+12=3,\qquad f(0)=0,\qquad f(1)=\sqrt{1}=1.$$
Следовательно, наибольшее значение функции на $$[-3;1]$$ равно $$4$$, а наименьшее — $$0$$.
в) При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет два корня?
Рассмотрим обе части функции.
1) Для $$x<0$$ уравнение
$$-x^2-4x=p$$
равносильно
$$x^2+4x+p=0.$$
Его корни:
$$x=-2\pm\sqrt{4-p}.$$
Чтобы оба корня были отрицательными, нужно, чтобы больший корень был меньше нуля:
$$-2+\sqrt{4-p}<0 \quad \Longleftrightarrow \quad \sqrt{4-p}<2 \quad \Longleftrightarrow \quad p>0.$$
При этом должно быть $$p\le 4$$, чтобы корни существовали.
Значит, при $$0<p\le 4$$ левая часть даёт два корня.
2) Для $$x\ge 0$$ уравнение $$\sqrt{x}=p$$ имеет один корень $$x=p^2$$ при $$p\ge 0$$.
Чтобы всего было ровно два корня, нужно, чтобы правая часть не добавляла новых корней. Это возможно только при $$p=0$$, но тогда корень один: $$x=0$$.
При $$0<p\le 4$$ левая часть даёт два корня, а правая — ещё один, всего три корня.
Следовательно, уравнение $$f(x)=p$$ имеет два корня только при
$$p=0,$$
но тогда корень один. Значит, значений $$p$$, при которых уравнение имеет ровно два корня, нет.
г) Решите неравенство $$f(x)>0$$
Для $$x<0$$:
$$-x^2-4x>0 \quad \Longleftrightarrow \quad -x(x+4)>0 \quad \Longleftrightarrow \quad x(x+4)<0,$$
откуда
$$x\in(-4;0).$$
Для $$x\ge 0$$:
$$\sqrt{x}>0 \quad \Longleftrightarrow \quad x>0.$$
Объединяя, получаем
$$x\in(-4;0)\cup(0;+\infty).$$
Ответ
а) График состоит из части параболы $$y=-x^2-4x$$ при $$x<0$$ и графика $$y=\sqrt{x}$$ при $$x\ge 0$$.
б) $$\max f(x)=4,\quad \min f(x)=0.$$
в) Значений $$p$$, при которых уравнение имеет ровно два корня, нет.
г) $$x\in(-4;0)\cup(0;+\infty).$$
