Упр.8.14 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Задача

Решите неравенство:
а) $$(x-2)(x-\sqrt[3]{5})^2\geq 0$$
б) $$\frac{x^2-7x+12}{(x-\sqrt[3]{60})^2}\leq 0$$
в) $$(x+4)(x+\sqrt[3]{63})^2\leq 0$$
г) $$\frac{(x-\sqrt[3]{150})^2}{x^2-11x+30}\geq 0$$

Подробный ответ

а) $$\left(x-2\right)\left(x-\sqrt[3]{5}\right)^2\ge 0.$$

Так как $$\left(x-\sqrt[3]{5}\right)^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то знак произведения определяется множителем $$x-2$$, а точка $$x=\sqrt[3]{5}$$ даёт нуль.

Отсюда

$$x\in\left[\sqrt[3]{5};\,2\right]\cup\left[2;\,+\infty\right).$$

б) $$\frac{x^2-7x+12}{\left(x-\sqrt[3]{60}\right)^2}\le 0.$$

Разложим числитель на множители:

$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4).$$

Знаменатель $$\left(x-\sqrt[3]{60}\right)^2\ge 0$$ и обращается в нуль при $$x=\sqrt[3]{60}$$, поэтому это значение исключаем из области определения. Для неравенства нужно, чтобы числитель был неположительным:

$$(x-3)(x-4)\le 0.$$

Тогда

$$x\in[3;4],\quad x\ne \sqrt[3]{60}.$$

Следовательно,

$$x\in[3;\sqrt[3]{60})\cup(\sqrt[3]{60};4].$$

в) $$\left(x+4\right)\left(x+\sqrt[3]{63}\right)^2\le 0.$$

Так как $$\left(x+\sqrt[3]{63}\right)^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то произведение не положительно тогда и только тогда, когда

$$x+4\le 0,$$

а также учитывается нуль при $$x=-\sqrt[3]{63}.$$

Итак,

$$x\in(-\infty;\,-4]\cup\left\{-\sqrt[3]{63}\right\}.$$

г) $$\frac{\left(x-\sqrt[3]{150}\right)^2}{x^2-11x+30}\ge 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-11x+30=(x-5)(x-6).$$

Числитель $$\left(x-\sqrt[3]{150}\right)^2\ge 0$$, поэтому дробь неотрицательна там, где знаменатель положителен, а также в точке, где числитель равен нулю и знаменатель не обращается в нуль.

Знаменатель положителен при

$$x\in(-\infty;5)\cup(6;+\infty).$$

Кроме того,

$$x=\sqrt[3]{150}$$

подходит, так как $$\sqrt[3]{150}\in(5,6)$$ и знаменатель там отрицателен, а дробь равна нулю только при нулевом числителе. Но нуль дроби возможен лишь при допустимом значении, поэтому это значение не подходит. Следовательно, остаются только промежутки, где знаменатель положителен.

Итак,

$$x\in(-\infty;5)\cup(6;+\infty).$$