Упр.8.13 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. а) Сумма цифр двузначного числа равна $$13$$. Если к заданному числу прибавить $$45$$, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.
   б) Сумма квадратов цифр двузначного числа равна $$34$$. Если из этого числа вычесть $$18$$, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Обозначим цифру десятков через $$a$$, а цифру единиц — через $$b$$. Тогда исходное число равно $$10a+b$$.

а)

По условию:

$$\begin{cases} a+b=13,\\ 10a+b+45=10b+a. \end{cases}$$

Из второго уравнения получаем:

$$9a-9b=-45 \quad \Rightarrow \quad a-b=-5.$$

Решаем систему:

$$\begin{cases} a+b=13,\\ a-b=-5. \end{cases}$$

Складываем уравнения:

$$2a=8 \Rightarrow a=4.$$

Тогда

$$b=13-4=9.$$

Искомое число:

$$10a+b=49.$$

б)

По условию:

$$\begin{cases} a^2+b^2=34,\\ 10a+b-18=10b+a. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$9a-9b=18 \quad \Rightarrow \quad a-b=2.$$

Тогда $$a=b+2$$. Подставим в первое уравнение:

$$(b+2)^2+b^2=34.$$

$$b^2+4b+4+b^2=34$$

$$2b^2+4b-30=0$$

$$b^2+2b-15=0$$

$$(b+5)(b-3)=0.$$

Так как $$b$$ — цифра, то $$b=3$$. Тогда

$$a=b+2=5.$$

Искомое число:

$$10a+b=53.$$

Ответ: а) $$49$$; б) $$53$$.