Упр.7.13 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Составляют квадратичную функцию $$y=ax^2+c$$: сначала наудачу выбирают старший коэффициент $$a\in\{-1; 1; 2\}$$, затем свободный коэффициент $$c\in\{-3; 1; 5\}$$. После этого строят соответствующую параболу.
   а) Сколько всего будет таких парабол?
   б) Сколько среди них парабол, не пересекающих ось $$Ox$$?
   в) Какова вероятность того, что у построенной параболы ветви направлены вниз?
   г) Какова вероятность того, что парабола пройдёт через точку $$K(2; 5)$$?

Возможные значения коэффициентов:

$$a\in\{-1,1,2\},\qquad c\in\{-3,1,5\}.$$

Тогда число всех парабол равно

$$3\cdot 3=9.$$

а)

Всего получится $$9$$ парабол.

б)

Парабола $$y=ax^2+c$$ не пересекает ось $$Ox$$, если уравнение

$$ax^2+c=0$$

не имеет действительных корней. Это возможно, когда

$$-\frac{c}{a}<0,$$

то есть числа $$a$$ и $$c$$ одного знака.

Подходящие пары:

$$(-1,-3),\ (1,1),\ (1,5),\ (2,1),\ (2,5).$$

Таких парабол $$5$$.

в)

Ветви параболы направлены вниз, если $$a<0$$. Из данных значений это только $$a=-1$$.

Тогда число благоприятных случаев равно $$3$$, а всего случаев $$9$$, значит

$$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}.$$

г)

Парабола проходит через точку $$K(2;5)$$, если

$$5=a\cdot 2^2+c=4a+c.$$

Проверим возможные значения:

$$4a+c=5.$$

Подходят пары:

$$(-1,9)\text{ — не подходит, так как }c\notin\{-3,1,5\};$$

$$(-1,1)\Rightarrow 4\cdot(-1)+1=-3;$$

$$(-1,5)\Rightarrow 1;$$

$$\dots$$

Из допустимых значений условие выполняется только при

$$a=1,\ c=1,$$

так как

$$4\cdot 1+1=5.$$

Следовательно, благоприятный случай один, и

$$P=\frac{1}{9}.$$

Ответ: а) $$9$$; б) $$5$$; в) $$\frac{1}{3}$$; г) $$\frac{1}{9}$$.