Упр.7.12 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Решите неравенство:
а) $$(x+2)^2(x^2-7x+10)\leq 0$$
б) $$(x-2)^2(x^2-x-12)\geq 0$$
в) $$(5x-1)^2(21x^2-10x+1)=0$$
г) $$(x-5)^2(x^2+2x-3)\leq 0$$
д) $$(x+1)^2(x^2+2x-15)\geq 0$$
е) $$(4x+1)^2(18x^2+9x+1)<0$$

а) $$\left(x+2\right)^2\left(x^2-7x+10\right)\le 0$$

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

$$x^2-7x+10=(x-5)(x-2).$$

Тогда

$$\left(x+2\right)^2(x-5)(x-2)\le 0.$$

Так как $$\left(x+2\right)^2\ge 0$$ при любых $$x$$, знак произведения определяется множителем $$\left(x-5\right)\left(x-2\right)$$, а также нулями самого квадрата. Получаем

$$x\in[-2;2]\cup[5;+\infty).$$

б) $$\left(x-2\right)^2\left(x^2-x-12\right)\ge 0$$

$$x^2-x-12=(x-4)(x+3).$$

Следовательно,

$$\left(x-2\right)^2(x-4)(x+3)\ge 0.$$

Так как $$\left(x-2\right)^2\ge 0$$, то нужно решить неравенство

$$\left(x-4\right)\left(x+3\right)\ge 0.$$

Отсюда

$$x\in(-\infty;-3]\cup[4;+\infty).$$

Точка $$x=2$$ также входит в решение, так как обращает произведение в нуль.

Итак,

$$x\in(-\infty;-3]\cup\{2\}\cup[4;+\infty).$$

в) $$\left(5x-1\right)^2\left(21x^2-10x+1\right)=0$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

$$5x-1=0 \quad \text{или} \quad 21x^2-10x+1=0.$$

Из первого уравнения:

$$x=\frac15.$$

Для второго:

$$D=(-10)^2-4\cdot 21\cdot 1=100-84=16,$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 4}{42}.$$

Тогда

$$x_1=\frac13,\qquad x_2=\frac17.$$

Ответ:

$$x\in\left\{\frac15,\frac13,\frac17\right\}.$$

г) $$\left(x-5\right)^2\left(x^2+2x-3\right)\le 0$$

$$x^2+2x-3=(x+3)(x-1).$$

Тогда

$$\left(x-5\right)^2(x+3)(x-1)\le 0.$$

Так как $$\left(x-5\right)^2\ge 0$$, получаем

$$\left(x+3\right)\left(x-1\right)\le 0.$$

Отсюда

$$x\in[-3;1].$$

Кроме того, $$x=5$$ обращает произведение в нуль, значит, тоже входит в ответ.

Итак,

$$x\in[-3;1]\cup\{5\}.$$

д) $$\left(x+1\right)^2\left(x^2+2x-15\right)>0$$

$$x^2+2x-15=(x+5)(x-3).$$

Тогда

$$\left(x+1\right)^2(x+5)(x-3)>0.$$

Так как $$\left(x+1\right)^2>0$$ при $$x\ne -1$$, нужно решить

$$\left(x+5\right)\left(x-3\right)>0.$$

Получаем

$$x\in(-\infty;-5)\cup(3;+\infty).$$

Точка $$x=-1$$ не подходит, так как обращает произведение в нуль.

е) $$\left(4x+1\right)^2\left(18x^2+9x+1\right)<0$$

Заметим, что

$$18x^2+9x+1=\left(3x+1\right)\left(6x+1\right).$$

Тогда

$$\left(4x+1\right)^2\left(3x+1\right)\left(6x+1\right)<0.$$

Так как $$\left(4x+1\right)^2\ge 0$$, то произведение будет отрицательным тогда и только тогда, когда

$$\left(3x+1\right)\left(6x+1\right)<0,$$

и при этом $$x\ne -\frac14$$.

Решаем неравенство:

$$x\in\left(-\frac13;-\frac16\right).$$

Точка $$x=-\frac14$$ лежит внутри этого промежутка, но при ней весь множитель $$\left(4x+1\right)^2$$ равен нулю, поэтому её нужно исключить.

Итак,

$$x\in\left(-\frac13;-\frac14\right)\cup\left(-\frac14;-\frac16\right).$$