Упр.7.11 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Найдите все значения параметра $$p$$, при которых уравнение: а) $$(p-3)x^2-(2p-1)x+p+3=0$$ имеет действительные корни; б) $$(p-1)x^2-(2p+5)x+p+1=0$$ не имеет действительных корней.

Рассмотрим квадратные уравнения по параметру $$p$$.

а)

$$(p-3)x^2-(2p-1)x+p+3=0$$

Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

$$D=(2p-1)^2-4(p-3)(p+3)$$

$$D=4p^2-4p+1-4(p^2-9)= -4p+37$$

Тогда

$$-4p+37\ge 0$$

$$p\le \frac{37}{4}$$

При $$p=3$$ уравнение становится линейным:

$$-(2\cdot 3-1)x+3+3=0 \Rightarrow -5x+6=0,$$

и оно имеет действительный корень. Значит, найденное условие подходит и для этого случая.

б)

$$(p-1)x^2-(2p+5)x+p+1=0$$

Чтобы уравнение не имело действительных корней, нужно:

$$D<0$$

$$D=(2p+5)^2-4(p-1)(p+1)$$

$$D=4p^2+20p+25-4(p^2-1)=20p+29$$

Тогда

$$20p+29<0$$

$$p<-\frac{29}{20}$$

При $$p=1$$ уравнение становится линейным:

$$-7x+2=0,$$

и оно имеет действительный корень, поэтому значение $$p=1$$ не подходит. Оно не входит в найденный промежуток.

Ответ

а) $$p\le \frac{37}{4}$$; б) $$p<-\frac{29}{20}$$.