Упр.7.10 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=f(x)$$ на заданном промежутке:
а) $$f(x)=x^3+1,\quad x\in[-8;1]$$;
б) $$f(x)=-(x+1)^2-2,\quad x\in[-3;0)$$;
в) $$f(x)=\frac{4}{x}-4,\quad x\in(4;5]$$;
г) $$f(x)=x^3-2,\quad x\in[-1;8]$$;
д) $$f(x)=-(x-2)+4,\quad x\in(3;5]$$;
е) $$f(x)=-\frac{3}{x+3}-1,\quad x\in[-4;3)$$.
а) $$f(x)=x^3+1,\quad x\in[-8;1].$$
Функция возрастает на всей области определения, значит наибольшее значение достигается в правом конце промежутка, а наименьшее — в левом:
$$f(-8)=(-8)^3+1=-512+1=-511,$$
$$f(1)=1^3+1=2.$$
Следовательно, $$f_{\min}=-511,$$ $$f_{\max}=2.$$
б) $$f(x)=-(x+1)^2-2,\quad x\in[-3;0).$$
Это парабола, ветви направлены вниз, вершина при $$x=-1.$$ На данном промежутке наибольшее значение достигается в вершине:
$$f(-1)=-(0)^2-2=-2.$$
При $$x\to 0-$$ получаем
$$f(x)\to -(1)^2-2=-3,$$
но точка $$x=0$$ не входит в промежуток, поэтому наименьшего значения нет.
Следовательно, $$f_{\max}=-2,$$ наименьшего значения нет.
в) $$f(x)=\frac{4}{x-4},\quad x\in(4;5].$$
На промежутке $$x>4,$$ поэтому функция убывает. Тогда наибольшее значение достигается при $$x\to 4+,$$ но точка $$x=4$$ не входит в промежуток, значит наибольшего значения нет.
Наименьшее значение достигается в правом конце:
$$f(5)=\frac{4}{5-4}=4.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$4,$$ наибольшего значения нет.
г) $$f(x)=x^3-2,\quad x\in[-1;8].$$
Функция возрастает, значит:
$$f(-1)=(-1)^3-2=-3,$$
$$f(8)=8^3-2=512-2=510.$$
Следовательно, $$f_{\min}=-3,$$ $$f_{\max}=510.$$
д) $$f(x)=-(x-2)^2+4,\quad x\in(3;5].$$
Парабола ветвями вниз, вершина в точке $$x=2,$$ а на промежутке $$x>3$$ функция убывает. Поэтому наибольшее значение стремится к значению в левой границе, но точка $$x=3$$ не входит в промежуток, значит наибольшего значения нет.
Наименьшее значение достигается при $$x=5$$:
$$f(5)=-(5-2)^2+4=-9+4=-5.$$
Следовательно, наименьшее значение равно $$-5,$$ наибольшего значения нет.
е) $$f(x)=-\frac{3}{x+3}-1,\quad x\in[-4;3).$$
На промежутке $$x\neq -3,$$ поэтому область разбивается на два участка: $$[-4;-3)$$ и $$(-3;3).$$
На каждом из них функция убывает. При $$x\to -3-$$ имеем
$$f(x)\to +\infty,$$
а при $$x\to -3+$$
$$f(x)\to -\infty.$$
Значит, функция не ограничена ни сверху, ни снизу, поэтому наибольшего и наименьшего значений нет.
Ответ: а) $$f_{\min}=-511,$$ $$f_{\max}=2$$; б) $$f_{\max}=-2,$$ наименьшего значения нет; в) $$f_{\min}=4,$$ наибольшего значения нет; г) $$f_{\min}=-3,$$ $$f_{\max}=510$$; д) наименьшее значение $$-5,$$ наибольшего значения нет; е) наибольшего и наименьшего значений нет.
