Упр.6.7 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

• а) $$\operatorname{ctg} t=\frac{4}{3},\quad 0б) $$\operatorname{tg} t=-\frac{5}{12},\quad \frac{\pi}{2}в) $$\operatorname{tg} t=-\frac{4}{3},\quad \frac{3\pi}{2}г) $$\operatorname{ctg} t=\frac{7}{24},\quad -\pi

Используем формулы:

$$\ctg t=\frac{\cos t}{\sin t}, \qquad \tg t=\frac{\sin t}{\cos t}, \qquad \sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

1. $$\ctg t=\frac{4}{3}, \qquad 0<t<\frac{\pi}{2}.$$

   Тогда $$\tg t=\frac{3}{4}.$$

   Так как угол в I четверти, то $$\sin t>0,\ \cos t>0.$$

   $$\sin t=\frac{1}{\sqrt{\ctg^2 t+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{16}{9}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}}}=\frac{3}{5},$$
   $$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

2. $$\tg t=-\frac{5}{12}, \qquad \frac{\pi}{2}<t<\pi.$$

   Во II четверти $$\sin t>0,\ \cos t<0.$$

   $$\sin t=\frac{1}{\sqrt{\tg^2 t+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{144}+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{144}}}=\frac{12}{13},$$
   $$\cos t=\tg t\cdot \sin t=-\frac{5}{12}\cdot \frac{12}{13}=-\frac{5}{13}.$$

3. $$\tg t=-\frac{4}{3}, \qquad \frac{3\pi}{2}<t<2\pi.$$

   В IV четверти $$\sin t<0,\ \cos t>0.$$

   $$\sin t=-\frac{4}{5}, \qquad \cos t=\frac{3}{5}.$$

4. $$\ctg t=\frac{7}{24}, \qquad -\pi<t<-\frac{\pi}{2}.$$

   Этот промежуток соответствует III четверти, значит $$\sin t<0,\ \cos t<0.$$

   $$\tg t=\frac{24}{7},$$
   $$\sin t=-\frac{1}{\sqrt{\ctg^2 t+1}}=-\frac{1}{\sqrt{\frac{49}{576}+1}}=-\frac{1}{\sqrt{\frac{625}{576}}}=-\frac{24}{25},$$
   $$\cos t=\ctg t\cdot \sin t=\frac{7}{24}\cdot \left(-\frac{24}{25}\right)=-\frac{7}{25}.$$

Ответ

а) $$\sin t=\frac{3}{5},\ \cos t=\frac{4}{5}$$
б) $$\sin t=\frac{12}{13},\ \cos t=-\frac{5}{13}$$
в) $$\sin t=-\frac{4}{5},\ \cos t=\frac{3}{5}$$
г) $$\sin t=-\frac{24}{25},\ \cos t=-\frac{7}{25}$$