Упр.6.6 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. По заданному значению данной тригонометрической функции найдите значения остальных тригонометрических функций.
   а) $$\cos t=\frac{4}{5}$$, $$0б) $$\sin t=-\frac{5}{13}$$, $$\frac{3\pi}{2}в) $$\sin t=0{,}8$$, $$\frac{\pi}{2}г) $$\cos t=0{,}6$$, $$-\frac{\pi}{2}

а) Так как $$\cos t=\frac{4}{5}$$ и $$0<t<\frac{\pi}{2}$$, то $$\sin t>0$$:

$$\sin t=\sqrt{1-\cos^2 t}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{4}{3}.$$

б) Так как $$\sin t=-\frac{5}{13}$$ и $$\frac{3\pi}{2}<t<2\pi$$, то $$\cos t>0$$:

$$\cos t=\sqrt{1-\sin^2 t}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-5/13}{12/13}=-\frac{5}{12}, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{12}{5}.$$

в) Так как $$\sin t=0{,}8$$ и $$\frac{\pi}{2}<t<\pi$$, то $$\cos t<0$$:

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t}=-\sqrt{1-0{,}8^2}=-\sqrt{1-0{,}64}=-\sqrt{0{,}36}=-0{,}6.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{0{,}8}{-0{,}6}=-\frac{4}{3}, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{3}{4}.$$

г) Так как $$\cos t=0{,}6$$ и $$-\frac{\pi}{2}<t<0$$, то $$\sin t<0$$:

$$\sin t=-\sqrt{1-\cos^2 t}=-\sqrt{1-0{,}6^2}=-\sqrt{1-0{,}36}=-\sqrt{0{,}64}=-0{,}8.$$

Тогда

$$\tg t=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{-0{,}8}{0{,}6}=-\frac{4}{3}, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{3}{4}.$$

Ответ: а) $$\sin t=\frac{3}{5},\ \tg t=\frac{3}{4},\ \ctg t=\frac{4}{3}$$; б) $$\cos t=\frac{12}{13},\ \tg t=-\frac{5}{12},\ \ctg t=-\frac{12}{5}$$; в) $$\cos t=-0{,}6,\ \tg t=-\frac{4}{3},\ \ctg t=-\frac{3}{4}$$; г) $$\sin t=-0{,}8,\ \tg t=-\frac{4}{3},\ \ctg t=-\frac{3}{4}$$.