Упр.6.4 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- а) $$\left(\frac{1-2\sin t\cos t}{\sin t-\cos t}\right)^2=1$$
б) $$\sin t-\frac{\cos^2 t}{1-\sin t}=-1$$
в) $$\frac{(\sin 2t+\cos 2t)^2}{3+6\sin 2t\cos 2t}=\frac{1}{3}$$
г) $$\left(\frac{1+2\sin t\cos t}{\sin t+\cos t}\right)^2=1$$
д) $$\sin t+\frac{\cos^2 t}{1+\sin t}=1$$
е) $$\frac{(2\sin 3t+2\cos 3t)^2}{2-4\sin 3t\cos 3t}=2$$
а) $$\frac{1-2\sin t\cos t}{(\sin t+\cos t)^2}=\frac{1-2\sin t\cos t}{\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t}=\frac{1-2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t}.$$
Так как $$1-2\sin t\cos t=1-2\sin t\cos t,$$ а в знаменателе $$\sin^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t=1+2\sin t\cos t,$$ то выражение упрощается до $$1.$$
б) $$\sin t-\frac{\cos^2 t}{1-\sin t}=\sin t-\frac{1-\sin^2 t}{1-\sin t}=\sin t-\frac{(1-\sin t)(1+\sin t)}{1-\sin t}$$
$$=\sin t-(1+\sin t)=-1.$$
в) $$\frac{(\sin 2t+\cos 2t)^2}{3+6\sin 2t\cos 2t}=\frac{\sin^2 2t+2\sin 2t\cos 2t+\cos^2 2t}{3+6\sin 2t\cos 2t}$$
$$=\frac{1+2\sin 2t\cos 2t}{3(1+2\sin 2t\cos 2t)}=\frac13.$$
г) $$\frac{1+2\sin t\cos t}{(\sin t+\cos t)^2}=\frac{1+2\sin t\cos t}{\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t}=\frac{1+2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t}=1.$$
д) $$\sin t+\frac{\cos^2 t}{1+\sin t}=\sin t+\frac{1-\sin^2 t}{1+\sin t}=\sin t+\frac{(1-\sin t)(1+\sin t)}{1+\sin t}$$
$$=\sin t+(1-\sin t)=1.$$
е) $$\frac{(2\sin 3t+2\cos 3t)^2}{2-4\sin 3t\cos 3t}=\frac{4(\sin 3t+\cos 3t)^2}{2-4\sin 3t\cos 3t}$$
$$=\frac{4(\sin^2 3t+2\sin 3t\cos 3t+\cos^2 3t)}{2-4\sin 3t\cos 3t}=\frac{4(1+2\sin 3t\cos 3t)}{2(1-2\sin 3t\cos 3t)}.$$
После сокращения получаем $$2.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$-1$$; в) $$\frac13$$; г) $$1$$; д) $$1$$; е) $$2$$.
