Упр.6.3 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

а) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\frac{(\sin t+\cos t)^2-1}{\ctg t-\sin t\cos t} = \frac{\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t-1}{\frac{\cos t}{\sin t}-\sin t\cos t}$$

Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$ то

$$\frac{2\sin t\cos t}{\frac{\cos t}{\sin t}-\sin t\cos t} = \frac{2\sin t\cos t}{\frac{\cos t-\sin^2 t\cos t}{\sin t}} = \frac{2\sin^2 t\cos t}{\cos t(1-\sin^2 t)} = \frac{2\sin^2 t}{\cos^2 t} = 2\tg^2 t.$$

б) Раскроем скобки и вынесем общий множитель:

$$\sin^3 t(1+\ctg t)+\cos^3 t(1+\tg t) = \sin^3 t+\sin^3 t\ctg t+\cos^3 t+\cos^3 t\tg t$$

$$= \sin^3 t+\sin^2 t\cos t+\cos^3 t+\cos^2 t\sin t = \sin t(\sin^2 t+\cos^2 t)+\cos t(\sin^2 t+\cos^2 t) = \sin t+\cos t.$$

в) Преобразуем дробь:

$$\frac{\ctg t}{\tg t+\ctg t}+\sin^2 t = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin t}{\cos t}+\frac{\cos t}{\sin t}}+\sin^2 t = \frac{\frac{\cos t}{\sin t}}{\frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin t\cos t}}+\sin^2 t$$

$$= \frac{\cos t}{\sin t}\cdot \frac{\sin t\cos t}{1}+\sin^2 t = \cos^2 t+\sin^2 t = 1.$$

г) Используем формулы для тангенса и котангенса:

$$\frac{\sin^2 t-\cos^2 t}{\tg t-\ctg t} = \frac{\sin^2 t-\cos^2 t}{\frac{\sin t}{\cos t}-\frac{\cos t}{\sin t}} = \frac{\sin^2 t-\cos^2 t}{\frac{\sin^2 t-\cos^2 t}{\sin t\cos t}} = \sin t\cos t.$$

д) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\frac{\tg t\cdot \ctg t-\sin^2 t}{\cos^2 t-1} = \frac{1-\sin^2 t}{\cos^2 t-1} = \frac{\cos^2 t}{-\sin^2 t} = -\ctg^2 t.$$

е) Упростим выражение:

$$\frac{1+\ctg t}{1+\tg t}\cdot \ctg t+1 = \frac{1+\frac{\cos t}{\sin t}}{1+\frac{\sin t}{\cos t}}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}+1 = \frac{\frac{\sin t+\cos t}{\sin t}}{\frac{\cos t+\sin t}{\cos t}}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}+1$$

$$= \frac{\cos t}{\sin t}\cdot \frac{\cos t}{\sin t}+1 = \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}+1 = \frac{\sin^2 t+\cos^2 t}{\sin^2 t} = \frac{1}{\sin^2 t}.$$

Ответ: а) $$2\tg^2 t$$; б) $$\sin t+\cos t$$; в) $$1$$; г) $$\sin t\cos t$$; д) $$-\ctg^2 t$$; е) $$\frac{1}{\sin^2 t}$$.