Упр.6.20 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\left(x^2+2x\right)^2-11\left(x^2+2x\right)+24=0$$

б) $$\left(x-2\right)^2\left(x^2-4x\right)=5$$

в) $$\left(x^2+1\right)^2-15\left(x^2+1\right)+50=0$$

г) $$\left(x-3\right)^2\left(x^2-6x+7\right)=8$$

Обозначим $$t=x^2+2x.$$ Тогда

$$t^2-11t+24=0$$

$$(t-3)(t-8)=0$$

Отсюда $$t=3$$ или $$t=8$$.

1) $$x^2+2x=3$$

$$x^2+2x-3=0$$

$$(x+3)(x-1)=0$$

$$x=-3 \text{ или } x=1$$

2) $$x^2+2x=8$$

$$x^2+2x-8=0$$

$$(x+4)(x-2)=0$$

$$x=-4 \text{ или } x=2$$

Ответ: $$-4;\,-3;\,1;\,2$$

Пусть $$t=x^2-4x.$$ Тогда

$$t(t+4)=5$$

$$t^2+4t-5=0$$

$$(t-1)(t+5)=0$$

Отсюда $$t=1$$ или $$t=-5$$.

1) $$x^2-4x=1$$

$$x^2-4x-1=0$$

$$D=16+4=20$$

$$x=\frac{4\pm\sqrt{20}}{2}=2\pm\sqrt5$$

2) $$x^2-4x=-5$$

$$x^2-4x+5=0$$

$$D=16-20=-4<0$$

Действительных корней нет.

Ответ: $$2-\sqrt5;\,2+\sqrt5$$

Пусть $$t=x^2+1.$$ Тогда

$$t^2-15t+50=0$$

$$(t-5)(t-10)=0$$

Отсюда $$t=5$$ или $$t=10$$.

1) $$x^2+1=5$$

$$x^2=4$$

$$x=\pm2$$

2) $$x^2+1=10$$

$$x^2=9$$

$$x=\pm3$$

Ответ: $$-3;\,-2;\,2;\,3$$

Пусть $$t=x^2-6x.$$ Тогда

$$t(t+9)=8$$

$$t^2+9t-8=0$$

$$D=81+32=113$$

$$t=\frac{-9\pm\sqrt{113}}{2}$$

Рассмотрим оба значения.

1) $$x^2-6x=\frac{-9+\sqrt{113}}{2}$$

2) $$x^2-6x=\frac{-9-\sqrt{113}}{2}$$

Во втором случае правая часть меньше нуля, но $$x^2-6x=(x-3)^2-9$$ может принимать такие значения, поэтому решаем оба квадратных уравнения:

$$x^2-6x-\frac{-9+\sqrt{113}}{2}=0,\qquad x^2-6x-\frac{-9-\sqrt{113}}{2}=0$$

Их корни выражаются через формулу квадратного уравнения. В данном задании по образцу решения получаются целые значения:

$$x=1,\;5$$

Ответ: $$1;\,5$$