Упр.6.2 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

108. Вычисли:
     а) $$1+\operatorname{ctg}^2 t\left(\cos^2 t-1\right)$$
     б) $$\cos^2 t-\left(\operatorname{ctg}^2 t+1\right)\sin^2 t$$
     в) $$\left(\frac{1}{\sin^2 t}-1\right)-\operatorname{ctg}^2 t$$
     г) $$\frac{\sin^2 t-1}{1-\cos^2 t}-\operatorname{tg} t\operatorname{ctg} t$$

Используем тождества $$1+\ctg^2 t=\frac{1}{\sin^2 t}, \qquad 1+\tg^2 t=\frac{1}{\cos^2 t}, \qquad \sin^2 t+\cos^2 t=1.$$

а)

$$1+\ctg^2 t\cdot(\cos^2 t-1) =1+\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}\cdot(-\sin^2 t) =1-\cos^2 t =\sin^2 t.$$

б)

$$\cos^2 t-(\ctg^2 t+1)\sin^2 t =\cos^2 t-\frac{1}{\sin^2 t}\sin^2 t =\cos^2 t-1 =-\sin^2 t.$$

в)

$$\left(\frac{1}{\sin^2 t}-1\right)-\ctg^2 t =\frac{1-\sin^2 t}{\sin^2 t}-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} =\frac{\cos^2 t-\cos^2 t}{\sin^2 t} =0.$$

г)

$$\frac{\sin^2 t-1}{1-\cos^2 t}-\tg t\cdot\ctg t =\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}-1 =-\frac{\cos^2 t+\sin^2 t}{\sin^2 t} =-\frac{1}{\sin^2 t}.$$

Ответ

а) $$\sin^2 t$$; б) $$-\sin^2 t$$; в) $$0$$; г) $$-\frac{1}{\sin^2 t}$$.