Упр.6.19 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. 6–19. Упростите выражение:
   а) $$\frac{x-25}{x+12\sqrt{x}+36}\cdot\frac{4\sqrt{x}+24}{3\sqrt{x}+15}$$
   б) $$\left(2+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot\frac{5a+5\sqrt{a}}{18\sqrt{a}+12}$$
   в) $$\left(\frac{3}{x-\sqrt{y}}+\frac{3}{x+\sqrt{y}}\right):\frac{x}{x^2-y}$$
   г) $$\frac{2\sqrt{y}-4\sqrt{y}}{5-\sqrt{x}}:\frac{4y-4\sqrt{xy}+x}{2\sqrt{x}-10}$$

а) $$\frac{x-25}{x+12\sqrt{x}+36}\cdot\frac{4\sqrt{x}+24}{3\sqrt{x}+15}$$

Разложим на множители:

$$x-25=(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5),$$

$$x+12\sqrt{x}+36=(\sqrt{x}+6)^2,$$

$$4\sqrt{x}+24=4(\sqrt{x}+6),$$

$$3\sqrt{x}+15=3(\sqrt{x}+5).$$

Тогда

$$\frac{(\sqrt{x}-5)(\sqrt{x}+5)}{(\sqrt{x}+6)^2}\cdot\frac{4(\sqrt{x}+6)}{3(\sqrt{x}+5)}=\frac{4(\sqrt{x}-5)}{3(\sqrt{x}+6)}.$$

б) $$\left(2+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\right)\cdot\frac{5a+5\sqrt{a}}{18\sqrt{a}+12}$$

Преобразуем выражение в скобках и дробь:

$$2+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}=\frac{2(\sqrt{a}+1)+\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}=\frac{3\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+1},$$

$$5a+5\sqrt{a}=5\sqrt{a}(\sqrt{a}+1),$$

$$18\sqrt{a}+12=6(3\sqrt{a}+2).$$

Тогда

$$\frac{3\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}+1}\cdot\frac{5\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)}{6(3\sqrt{a}+2)}=\frac{5\sqrt{a}}{6}.$$

в) $$\left(\frac{3}{x-\sqrt{y}}+\frac{3}{x+\sqrt{y}}\right):\frac{x}{x^2-y}$$

Сложим дроби в скобках:

$$\frac{3}{x-\sqrt{y}}+\frac{3}{x+\sqrt{y}}=\frac{3(x+\sqrt{y})+3(x-\sqrt{y})}{(x-\sqrt{y})(x+\sqrt{y})}=\frac{6x}{x^2-y}.$$

Теперь разделим на дробь:

$$\frac{6x}{x^2-y}:\frac{x}{x^2-y}=\frac{6x}{x^2-y}\cdot\frac{x^2-y}{x}=6.$$

г) $$\frac{2\sqrt{y}-4\sqrt{xy}}{5-\sqrt{x}}:\frac{4y-4\sqrt{xy}+x}{2\sqrt{x}-10}$$

Разложим на множители:

$$2\sqrt{y}-4\sqrt{xy}=2\sqrt{y}(1-2\sqrt{x}),$$

$$5-\sqrt{x}=-(\sqrt{x}-5),$$

$$4y-4\sqrt{xy}+x=(2\sqrt{y}-\sqrt{x})^2,$$

$$2\sqrt{x}-10=2(\sqrt{x}-5).$$

Тогда

$$\frac{2\sqrt{y}(1-2\sqrt{x})}{5-\sqrt{x}}:\frac{(2\sqrt{y}-\sqrt{x})^2}{2(\sqrt{x}-5)}$$

после сокращения получаем

$$\frac{4}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}.$$

Ответ

а) $$\frac{4(\sqrt{x}-5)}{3(\sqrt{x}+6)}$$; б) $$\frac{5\sqrt{a}}{6}$$; в) $$6$$; г) $$\frac{4}{\sqrt{x}-2\sqrt{y}}$$.