Упр.6.16 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Постройте график функции:

1. а) $$y=(1+\operatorname{tg}^2 x)\cos^2 x$$;
2. б) $$y=(1+\operatorname{ctg}^2 x)\sin^2 x$$;
3. в) $$y=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 x}\cos^2 x$$;
4. г) $$y=\frac{\cos^2 2x+\sin^2 2x}{1+\operatorname{ctg}^2 x}\sin^2 x$$;
5. д) $$y=(1+\operatorname{tg}^2 x)\cos^2 x-(1+\operatorname{ctg}^2 x)\sin^2 x$$;
6. е) $$y=\frac{1}{1+\operatorname{tg}^2 x}\cos^2 x-(1+\operatorname{ctg}^2 x)\sin^2 x$$.

Упростим каждое выражение, используя тождества $$1+\tg^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$$ и $$1+\ctg^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}.$$

1. $$y=(1+\tg^2 x)\cos^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}\cdot \cos^2 x=1.$$

   График — прямая $$y=1$$, но только при $$\cos x\ne 0$$, то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

2. $$y=(1+\ctg^2 x)\sin^2 x=\frac{1}{\sin^2 x}\cdot \sin^2 x=1.$$

   График — прямая $$y=1$$, но только при $$\sin x\ne 0$$, то есть $$x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

3. $$y=\frac{1}{(1+\tg^2 x)\cos^2 x}=\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 x}\cdot \cos^2 x}=1.$$

   График — прямая $$y=1$$, при $$\cos x\ne 0$$, то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

4. $$y=\frac{\cos^2 2x+\sin^2 2x}{(1+\ctg^2 x)\sin^2 x}=\frac{1}{\frac{1}{\sin^2 x}\cdot \sin^2 x}=1.$$

   График — прямая $$y=1$$, при $$\sin x\ne 0$$, то есть $$x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

5. $$y=(1+\tg^2 x)\cos^2 x-(1+\ctg^2 x)\sin^2 x=1-1=0.$$

   График — прямая $$y=0$$, при $$\cos x\ne 0$$ и $$\sin x\ne 0$$, то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$ и $$x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

6. $$y=\frac{1}{(1+\tg^2 x)\cos^2 x}-(1+\ctg^2 x)\sin^2 x=1-1=0.$$

   График — прямая $$y=0$$, при $$\cos x\ne 0$$ и $$\sin x\ne 0$$, то есть $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n$$ и $$x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$y=1$$; б) $$y=1$$; в) $$y=1$$; г) $$y=1$$; д) $$y=0$$; е) $$y=0$$.