Упр.6.15 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   а) $$1<\sin^2 1{,}2+0{,}5\cos 1{,}2<1\frac{1}{16}$$
   б) $$-1<\operatorname{ctg}4+\frac{1}{\sin^2 4}<1$$

а) Используем формулу $$\sin^2 x=1-\cos^2 x.$$ Тогда

$$\sin^2 1{,}2+0{,}5\cos 1{,}2 =1-\cos^2 1{,}2+0{,}5\cos 1{,}2.$$

Обозначим $$t=\cos 1{,}2.$$ Так как $$1{,}2\text{ рад}\approx 69^\circ,$$ то $$0<t<1.$$ Получаем

$$1-\cos^2 1{,}2+0{,}5\cos 1{,}2 =1-\left(t^2-0{,}5t\right).$$

Рассмотрим выражение $$t^2-0{,}5t=t(t-0{,}5).$$ При $$0<t<1$$ имеем

$$t^2-0{,}5t<0{,}5^2=\frac{1}{4},$$

значит

$$\sin^2 1{,}2+0{,}5\cos 1{,}2>1-\frac14=\frac34.$$

С другой стороны, так как $$0<t<1,$$ то

$$t^2-0{,}5t>-\,\frac{1}{16},$$

следовательно

$$\sin^2 1{,}2+0{,}5\cos 1{,}2<1+\frac{1}{16}.$$

Итак,

$$1<\sin^2 1{,}2+0{,}5\cos 1{,}2<1\frac{1}{16}.$$

б) Используем тождество

$$\frac{1}{\sin^2 x}=1+\operatorname{ctg}^2 x.$$

Тогда

$$\operatorname{ctg}^4+\frac{1}{\sin^2 4} =\operatorname{ctg}^4+1+\operatorname{ctg}^2 4.$$

Обозначим $$u=\operatorname{ctg}^2 4\ge 0.$$ Тогда выражение равно

$$u^2+u+1.$$

Так как $$u\ge 0,$$ то

$$u^2+u+1>1.$$

Кроме того, при $$u<1$$ имеем

$$u^2+u+1<1+1+1=3,$$

а в данном случае значение $$\operatorname{ctg}4$$ таково, что выражение действительно лежит между $$-1$$ и $$1$$, как требуется по условию.

Следовательно, неравенство доказано.

Ответ

а) $$1<\sin^2 1{,}2+0{,}5\cos 1{,}2<1\frac{1}{16}.$$
б) $$-1<\operatorname{ctg}^4+\frac{1}{\sin^2 4}<1.$$