Упр.6.14 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
Постройте график функции:
а) $$y=x^2-\left(\sin^2\frac{2}{x}+\cos^2\frac{2}{x}\right)$$
б) $$y=2x-\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$$
в) $$y=\frac{4}{x}-\left(\sin^2\sqrt{x+4}+\cos^2\sqrt{x+4}\right)$$
г) $$y=0{,}5(x-2)^2+\sin^2\frac{1}{x}+\cos^2\frac{1}{x}$$
д) $$y=-3x+2\operatorname{tg}x\cdot\operatorname{ctg}x$$
е) $$y=\frac{3}{x-2}+\left(\sin^2\sqrt{x+1}+\cos^2\sqrt{x+1}\right)$$
Используем тождества $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ и $$\tg x\cdot \ctg x=1$$ там, где эти выражения определены. Тогда каждую функцию можно упростить и построить как график более простой функции.
$$y=x^2-\left(\sin^2\frac{2}{x}+\cos^2\frac{2}{x}\right)=x^2-1,\qquad x\ne 0.$$
Это парабола $$y=x^2-1$$ с выколотой точкой при $$x=0$$.
$$y=2x-\tg x\cdot \ctg x=2x-1.$$
График — прямая $$y=2x-1$$, при этом $$\tg x$$ и $$\ctg x$$ должны быть определены и не равны нулю одновременно.
$$y=\frac{4}{x}-\left(\sin^2\sqrt{x+4}+\cos^2\sqrt{x+4}\right)=\frac{4}{x}-1,\qquad x\ge -4,\ x\ne 0.$$
Это гипербола $$y=\frac{4}{x}-1$$, ограниченная областью определения $$x\ge -4$$, $$x\ne 0$$.
$$y=0{,}5(x-2)^2+\sin^2\frac{1}{x}+\cos^2\frac{1}{x}=0{,}5(x-2)^2+1,\qquad x\ne 0.$$
Получаем параболу $$y=0{,}5(x-2)^2+1$$ с выколотой точкой при $$x=0$$.
$$y=-3x+2\tg x\cdot \ctg x=-3x+2.$$
График — прямая $$y=-3x+2$$.
$$y=\frac{3}{x-2}+\left(\sin^2\sqrt{x+1}+\cos^2\sqrt{x+1}\right)=\frac{3}{x-2}+1,\qquad x\ge -1,\ x\ne 2.$$
Это гипербола $$y=\frac{3}{x-2}+1$$, заданная при $$x\ge -1$$, $$x\ne 2$$.
Ответ: а) $$y=x^2-1,\ x\ne 0$$; б) $$y=2x-1$$; в) $$y=\frac{4}{x}-1,\ x\ge -4,\ x\ne 0$$; г) $$y=0{,}5(x-2)^2+1,\ x\ne 0$$; д) $$y=-3x+2$$; е) $$y=\frac{3}{x-2}+1,\ x\ge -1,\ x\ne 2$$.
