Упр.6.13 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$s=f(t)$$, если:
   а) $$f(t)=1-(\sin^2 t-\cos^2 t);$$
   б) $$f(t)=2\sin^2 t+2\cos^2 t+\cos t;$$
   в) $$f(t)=\sin^2 t\cdot\operatorname{ctg}^2 t+3\sin^2 t-1;$$
   г) $$f(t)=1-\sin t\cdot\cos t\cdot\operatorname{ctg}t;$$
   д) $$f(t)=-3\cos^2 t-3\sin^2 t+\sin t;$$
   е) $$f(t)=1-\cos^2 t\cdot\operatorname{tg}^2 t+2\sin^2 t.$

Используем тождества $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$, $$\ctg^2 t=\dfrac{\cos^2 t}{\sin^2 t}$$, $$\tg^2 t=\dfrac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$ и известные границы тригонометрических функций.

1. $$f(t)=1-(\sin^2 t-\cos^2 t)=1+\cos^2 t-\sin^2 t=1+\cos 2t.$$

   Так как $$-1\le \cos 2t\le 1,$$ то

   $$0\le f(t)\le 2.$$

   Наибольшее значение: $$2,$$ наименьшее значение: $$0.$$

2. $$f(t)=2\sin^2 t+2\cos^2 t+\cos t=2+\cos t.$$

   Так как $$-1\le \cos t\le 1,$$ то

   $$1\le f(t)\le 3.$$

   Наибольшее значение: $$3,$$ наименьшее значение: $$1.$$

3. $$f(t)=\sin^2 t\cdot \ctg^2 t+3\sin^2 t-1.$$

   Преобразуем первый член:

   $$\sin^2 t\cdot \ctg^2 t=\sin^2 t\cdot \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}=\cos^2 t.$$

   Тогда

   $$f(t)=\cos^2 t+3\sin^2 t-1=3\sin^2 t+\cos^2 t-1=2\sin^2 t.$$

   Так как $$0\le \sin^2 t\le 1,$$ то

   $$0\le f(t)\le 2.$$

   Наибольшее значение: $$2,$$ наименьшее значение: $$0.$$

4. $$f(t)=1-\sin t\cdot \cos t\cdot \ctg t.$$

   Так как $$\ctg t=\dfrac{\cos t}{\sin t},$$ то

   $$\sin t\cdot \cos t\cdot \ctg t=\sin t\cdot \cos t\cdot \frac{\cos t}{\sin t}=\cos^2 t.$$

   Следовательно,

   $$f(t)=1-\cos^2 t=\sin^2 t.$$

   Значит,

   $$0\le f(t)\le 1.$$

   Наибольшее значение: $$1,$$ наименьшее значение: $$0.$$

5. $$f(t)=-3\cos^2 t-3\sin^2 t+\sin t=-3+\sin t.$$

   Так как $$-1\le \sin t\le 1,$$ то

   $$-4\le f(t)\le -2.$$

   Наибольшее значение: $$-2,$$ наименьшее значение: $$-4.$$

6. $$f(t)=1-\cos^2 t\cdot \tg^2 t+2\sin^2 t.$$

   Преобразуем:

   $$\cos^2 t\cdot \tg^2 t=\cos^2 t\cdot \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}=\sin^2 t.$$

   Тогда

   $$f(t)=1-\sin^2 t+2\sin^2 t=1+\sin^2 t.$$

   Так как $$0\le \sin^2 t\le 1,$$ то

   $$1\le f(t)\le 2.$$

   Наибольшее значение: $$2,$$ наименьшее значение: $$1.$$

Ответ

а) $$\max f(t)=2,\ \min f(t)=0$$;
б) $$\max f(t)=3,\ \min f(t)=1$$;
в) $$\max f(t)=2,\ \min f(t)=0$$;
г) $$\max f(t)=1,\ \min f(t)=0$$;
д) $$\max f(t)=-2,\ \min f(t)=-4$$;
е) $$\max f(t)=2,\ \min f(t)=1$$.