Упр.6.12 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:
   а) $$\frac{\cos x}{\sin x}+1=\cos^2 x+\sin^2 x$$
   б) $$\sin x-\tg^2 x\cdot\ctg^2 x=\cos\frac{3\pi}{2}$$
   в) $$\tg x\cdot\sin\pi+2\cos x=\tg\frac{\pi}{3}$$
   г) $$\frac{\sin x}{\cos x}+2=\cos^2 x+\sin^2 x$$

1. $$\frac{\cos x}{\sin x}+1=\cos^2 x+\sin^2 x$$

   Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$ получаем

   $$\frac{\cos x}{\sin x}+1=1,$$

   откуда

   $$\frac{\cos x}{\sin x}=0.$$

   Дробь равна нулю, когда $$\cos x=0$$ и $$\sin x\neq 0.$$ Тогда

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\sin x-\tg^2 x\cdot \ctg^2 x=\cos\frac{3\pi}{2}$$

   Так как $$\tg x\cdot \ctg x=1,$$ то $$\tg^2 x\cdot \ctg^2 x=1.$$ Кроме того,

   $$\cos\frac{3\pi}{2}=0.$$

   Тогда

   $$\sin x-1=0,$$

   то есть

   $$\sin x=1.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$\tg x\cdot \sin\pi+2\cos x=\tg\frac{\pi}{3}$$

   Так как $$\sin\pi=0$$ и $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt{3},$$ получаем

   $$2\cos x=\sqrt{3}.$$

   Отсюда

   $$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Тогда

   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\frac{\sin x}{\cos x}+2=\cos^2 x+\sin^2 x$$

   Так как $$\cos^2 x+\sin^2 x=1,$$ имеем

   $$\frac{\sin x}{\cos x}+2=1,$$

   откуда

   $$\frac{\sin x}{\cos x}=-1.$$

   Следовательно,

   $$\tg x=-1,$$

   и потому

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.