Упр.5.8 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

Задача

Определите знак числа:

$$\sin\frac{7\pi}{12}-\operatorname{tg}\frac{23\pi}{24}$$
$$\cos 1-\operatorname{ctg} 3$$
$$\cos 1\cdot\sin(-2)\cdot\operatorname{ctg} 3\cdot\operatorname{tg}(-4)$$
$$\operatorname{ctg}\frac{27\pi}{16}+\cos\frac{16\pi}{15}$$
$$\operatorname{tg}5+\sin 6$$
$$\operatorname{tg}2\cdot\cos(-3)\cdot\operatorname{ctg}(-5)\cdot\sin 2$$

Подробный ответ

Определим знак каждого выражения, учитывая знаки тригонометрических функций в соответствующих четвертях.

$$\sin \frac{7\pi}{12}-\tg \frac{23\pi}{24}$$
$$\frac{7\pi}{12}\in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\quad \sin \frac{7\pi}{12}>0.$$
$$\frac{23\pi}{24}\in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\quad \tg \frac{23\pi}{24}<0.$$
Тогда
$$\sin \frac{7\pi}{12}-\tg \frac{23\pi}{24}>0.$$
$$\cos 1-\ctg 3$$
$$1\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right),\quad \cos 1>0.$$
$$3\in \left(\frac{\pi}{2},\pi\right),\quad \ctg 3<0.$$
Следовательно,
$$\cos 1-\ctg 3>0.$$
$$\cos 1\cdot \sin(-2)\cdot \ctg 3\cdot \tg(-4)$$
$$\cos 1>0,\quad \sin(-2)<0,\quad \ctg 3<0,\quad \tg(-4)>0.$$
Произведение двух отрицательных и двух положительных множителей положительно:
$$\cos 1\cdot \sin(-2)\cdot \ctg 3\cdot \tg(-4)>0.$$
$$\ctg \frac{27\pi}{16}+\cos \frac{16\pi}{15}$$
$$\frac{27\pi}{16}\in \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right),\quad \ctg \frac{27\pi}{16}>0.$$
$$\frac{16\pi}{15}\in \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right),\quad \cos \frac{16\pi}{15}<0.$$
Знаки слагаемых разные, поэтому знак суммы заранее определить нельзя.
$$\tg 5+\sin 6$$
$$5\in \left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right),\quad \tg 5>0.$$
$$6\in \left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right),\quad \sin 6<0.$$
Знаки слагаемых разные, поэтому знак суммы определить нельзя.
$$\tg 2\cdot \cos(-3)\cdot \ctg(-5)\cdot \sin 2$$
$$\tg 2<0,\quad \cos(-3)=\cos 3<0,\quad \ctg(-5)=-\ctg 5>0,\quad \sin 2>0.$$
Произведение двух отрицательных и двух положительных множителей положительно:
$$\tg 2\cdot \cos(-3)\cdot \ctg(-5)\cdot \sin 2>0.$$