Упр.5.19 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Составьте уравнение окружности, диаметром которой является отрезок $$AB$$, если: а) $$A(-6; 5),\ B(2; -3)$$; б) $$A(6; 1),\ B(-2; 5)$$.

Центр окружности — середина диаметра $$AB$$, а радиус равен половине длины отрезка $$AB$$. Используем формулу

$$\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2.$$

1. $$A(-6;5),\quad B(2;-3).$$

   Найдём длину диаметра:

   $$AB=\sqrt{(2-(-6))^2+(-3-5)^2}=\sqrt{8^2+(-8)^2}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}.$$

   Тогда радиус:

   $$r=\frac{AB}{2}=4\sqrt{2},\qquad r^2=32.$$

   Координаты центра — середина отрезка $$AB$$:

   $$x_0=\frac{-6+2}{2}=-2,\qquad y_0=\frac{5+(-3)}{2}=1.$$

   Уравнение окружности:

   $$\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=32.$$

2. $$A(6;1),\quad B(-2;5).$$

   Найдём длину диаметра:

   $$AB=\sqrt{(-2-6)^2+(5-1)^2}=\sqrt{(-8)^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.$$

   Тогда радиус:

   $$r=\frac{AB}{2}=2\sqrt{5},\qquad r^2=20.$$

   Координаты центра:

   $$x_0=\frac{6+(-2)}{2}=2,\qquad y_0=\frac{1+5}{2}=3.$$

   Уравнение окружности:

   $$\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=20.$$

Ответ

а) $$\left(x+2\right)^2+\left(y-1\right)^2=32$$; б) $$\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=20$$.