Упр.4.9 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Найдите значение выражений и сравните их:
   а) $$\cos^2 t-\sin^2 t$$ и $$\cos 2t$$, если $$t=\frac{\pi}{2}$$;
   б) $$\cos^2 t+\sin^2 t$$, если $$t=\frac{\pi}{3}$$, и $$\cos^2 t+\sin^2 t$$, если $$t=\frac{5\pi}{6}$$;
   в) $$\sin^2\frac{t}{2}-\cos^2\frac{t}{2}$$, если $$t=\frac{2\pi}{3}$$;
   г) $$\sin^2\frac{t}{2}-\cos^2\frac{t}{2}$$ и $$\cos t$$, если $$t=\frac{2\pi}{3}$$.

а) $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t.$$

При $$t=\frac{\pi}{2}$$ получаем:

$$\cos^2\frac{\pi}{2}-\sin^2\frac{\pi}{2}=0-1=-1,$$

$$\cos 2t=\cos \pi=-1.$$

Значения равны.

б) Используем тождество $$\cos^2 t+\sin^2 t=1.$$

При $$t=\frac{\pi}{3}$$:

$$\cos^2\frac{\pi}{3}+\sin^2\frac{\pi}{3}=\left(\frac12\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=\frac14+\frac34=1.$$

При $$t=\frac{5\pi}{6}$$:

$$\cos^2\frac{5\pi}{6}+\sin^2\frac{5\pi}{6}=\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1.$$

Значения равны.

в) $$\sin^2\frac t2-\cos^2\frac t2.$$

При $$t=\frac{2\pi}{3}$$ имеем $$\frac t2=\frac{\pi}{3}$$, тогда

$$\sin^2\frac{\pi}{3}-\cos^2\frac{\pi}{3}=\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-\left(\frac12\right)^2=\frac34-\frac14=\frac12.$$

Также

$$\cos t=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12.$$

Значения не равны.

г) При $$t=\frac{2\pi}{3}$$:

$$\sin^2\frac t2-\cos^2\frac t2=\sin^2\frac{\pi}{3}-\cos^2\frac{\pi}{3}=\frac12,$$

$$\cos t=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12.$$

Значения противоположны.

Ответ

а) $$-1$$ и $$-1$$ — равны; б) $$1$$ и $$1$$ — равны; в) $$\frac12$$ и $$-\frac12$$ — не равны; г) $$\frac12$$ и $$-\frac12$$ — противоположны.