Упр.4.33 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)
- 4-33. Решите уравнение:
а) $$4x^2+\cos^2\left(\frac{17\pi x}{2}\right)=4x^3-x^4$$;
б) $$x^2-6x^5+9x^4+\sin^4\pi x=0$$.
а) Преобразуем уравнение:
$$4x^2+\cos^2\frac{17\pi x}{2}=4x^3-x^4$$
$$x^4-4x^3+4x^2+\cos^2\frac{17\pi x}{2}=0$$
$$x^2(x-2)^2+\cos^2\frac{17\pi x}{2}=0$$
Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$\begin{cases} x^2(x-2)^2=0,\\ \cos^2\frac{17\pi x}{2}=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения получаем $$x=0$$ или $$x=2$$.
Проверим второе условие:
$$\cos\frac{17\pi x}{2}=0.$$
При $$x=0$$ имеем $$\cos 0=1\neq 0$$, при $$x=2$$ имеем
$$\cos\frac{17\pi\cdot 2}{2}=\cos 17\pi=-1\neq 0.$$
Следовательно, решений нет.
б) Преобразуем уравнение:
$$x^2-6x^5+9x^4+\sin^4\pi x=0$$
$$x^4(x^2-6x+9)+\sin^4\pi x=0$$
$$x^4(x-3)^2+\sin^4\pi x=0$$
Оба слагаемых неотрицательны, значит сумма равна нулю только при
$$\begin{cases} x^4(x-3)^2=0,\\ \sin^4\pi x=0. \end{cases}$$
Из первого уравнения: $$x=0$$ или $$x=3$$.
Проверим второе:
$$\sin \pi x=0.$$
При $$x=0$$: $$\sin 0=0$$.
При $$x=3$$: $$\sin 3\pi=0$$.
Оба значения подходят.
Ответ: а) решений нет; б) $$x=0,\ 3$$.
