Упр.4.31 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$y_n=\sin\left(\frac{\pi n}{14}\right)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$. Найдите количество различных отрицательных чисел среди $$y_n$$, если:
   а) $$1\le n\le 10$$;
   б) $$1\le n\le 20$$;
   в) $$7\le n\le 28$$;
   г) $$13\le n\le 33$$;
   д) $$40\le n\le 60$$;
   е) $$-20\le n\le 5$$.

Так как $$y_n=\sin\frac{\pi n}{14},$$ то значения последовательности периодичны по $$n$$ с периодом $$28$$, поскольку

$$\sin\frac{\pi(n+28)}{14}=\sin\left(\frac{\pi n}{14}+2\pi\right)=\sin\frac{\pi n}{14}.$$

Отрицательные значения получаются тогда, когда

$$\pi<\frac{\pi n}{14}<2\pi,$$

то есть при

$$14<n<28.$$

Нужно посчитать, сколько различных отрицательных значений встречается в каждом промежутке.

1. $$1\le n\le 10.$$

   Здесь $$n<14,$$ значит все значения $$y_n$$ неотрицательны. Отрицательных чисел нет.

   Ответ: $$0$$.

2. $$1\le n\le 20.$$

   Отрицательные значения получаются при $$n=15,16,17,18,19,20.$$

   Но среди них различные значения соответствуют числам $$14,15,16,17,18,19,20$$ по модулю периода, а отрицательные значения здесь:

   $$-\sin\frac{\pi}{14},\ -\sin\frac{2\pi}{14},\ -\sin\frac{3\pi}{14},\ -\sin\frac{4\pi}{14},\ -\sin\frac{5\pi}{14},\ -\sin\frac{6\pi}{14}.$$

   Их $$6$$.

   Ответ: $$6$$.

3. $$7\le n\le 28.$$

   Отрицательные значения при $$n=15,16,\dots,27.$$

   Различные отрицательные значения:

   $$-\sin\frac{\pi}{14},\ -\sin\frac{2\pi}{14},\ -\sin\frac{3\pi}{14},\ -\sin\frac{4\pi}{14},\ -\sin\frac{5\pi}{14},\ -\sin\frac{6\pi}{14},\ -\sin\frac{7\pi}{14}.$$

   Их $$7$$.

   Ответ: $$7$$.

4. $$13\le n\le 33.$$

   В этом промежутке отрицательные значения дают $$n=15,16,\dots,27$$ и $$n=29,30,31,32,33.$$

   Из-за периода $$28$$ значения при $$n=29,30,31,32,33$$ совпадают со значениями при $$n=1,2,3,4,5,$$ то есть новых отрицательных значений не добавляют.

   Всего различных отрицательных значений снова $$7$$.

   Ответ: $$7$$.

5. $$40\le n\le 60.$$

   С учётом периода $$28$$ этот промежуток эквивалентен значениям $$12\le n\le 32.$$

   Отрицательные значения соответствуют $$n=15,16,\dots,27$$, то есть различными будут те же $$7$$ значений:

   $$-\sin\frac{\pi}{14},\ -\sin\frac{2\pi}{14},\ -\sin\frac{3\pi}{14},\ -\sin\frac{4\pi}{14},\ -\sin\frac{5\pi}{14},\ -\sin\frac{6\pi}{14},\ -\sin\frac{7\pi}{14}.$$

   Ответ: $$7$$.

6. $$-20\le n\le 5.$$

   По периодичности достаточно рассмотреть числа, сравнимые с ними по модулю $$28$$: это $$8,9,\dots,33$$, а в данном промежутке отрицательные значения получаются при $$n=15,16,\dots,27.$$

   Следовательно, различных отрицательных значений снова $$7$$.

   Ответ: $$7$$.