Упр.4.30 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

30. Известно, что $$x_n=\cos\left(\frac{\pi n}{13}\right)$$, $$n\in\mathbb{Z}$$. Найдите количество различных отрицательных чисел среди $$x_n$$, если:
    а) $$1\leq n\leq 10$$;
    б) $$1\leq n\leq 20$$;
    в) $$9\leq n\leq 33$$;
    г) $$10\leq n\leq 33$$;
    д) $$-5\leq n\leq 15$$;
    е) $$-25\leq n\leq -5$$.

Так как $$y_n=\cos\frac{\pi n}{13},$$ то отрицательные значения получаются тогда и только тогда, когда

$$\frac{\pi n}{13}\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)\pmod{2\pi}.$$

Отсюда для целых $$n$$ имеем:

$$\frac{13}{2}<n<\frac{39}{2},$$

то есть среди целых чисел это $$n=7,8,9,\dots,19.$$

1. $$1\le n\le 10.$$

   Подходят $$n=7,8,9,10.$$ Количество отрицательных чисел: $$4.$$

2. $$1\le n\le 20.$$

   Подходят $$n=7,8,\dots,19.$$ Количество отрицательных чисел: $$13.$$

3. $$9\le n\le 33.$$

   Подходят $$n=9,10,\dots,19.$$ Количество отрицательных чисел: $$11.$$

4. $$10\le n\le 33.$$

   Подходят $$n=10,11,\dots,19.$$ Количество отрицательных чисел: $$10.$$

5. $$-5\le n\le 15.$$

   Подходят $$n=7,8,\dots,15.$$ Количество отрицательных чисел: $$9.$$

6. $$-25\le n\le -5.$$

   Подходящих значений нет, так как отрицательность у $$\cos\frac{\pi n}{13}$$ повторяется с периодом $$26$$, а в указанном промежутке таких $$n$$ нет.

Ответ: а) $$4$$; б) $$13$$; в) $$11$$; г) $$10$$; д) $$9$$; е) $$0$$.