Упр.4.29 ГДЗ Мордкович Семенов 10 класс (Алгебра)

1. 4.29. Решите системы неравенств:
   а) $$\begin{cases}\sin t > \frac{1}{2},\\ \cos t > -\frac{\sqrt{2}}{2};\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}\sin t < \frac{1}{2},\\ \cos t < \frac{\sqrt{3}}{2};\end{cases}$$ в) $$\begin{cases}\sin t > -\frac{\sqrt{2}}{2},\\ \cos t > -\frac{1}{2};\end{cases}$$
   г) $$\begin{cases}\sin t > -\frac{1}{2},\\ \cos t < \frac{\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$$

Рассмотрим каждую систему на единичной окружности.

1. $$\begin{cases} \sin t>\dfrac12,\\ \cos t>-\dfrac{\sqrt2}{2} \end{cases}$$

   Из неравенства $$\sin t>\dfrac12$$ получаем

   $$t\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\dfrac{5\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из неравенства $$\cos t>-\dfrac{\sqrt2}{2}$$ получаем

   $$t\in\left(-\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение этих промежутков:

   $$t\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$\begin{cases} \sin t<\dfrac12,\\ \cos t<\dfrac{\sqrt3}{2} \end{cases}$$

   Из неравенства $$\sin t<\dfrac12$$ имеем

   $$t\in\left(-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n,\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из неравенства $$\cos t<\dfrac{\sqrt3}{2}$$ получаем

   $$t\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\dfrac{11\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение даёт

   $$t\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right),$$

   то есть решений нет.

3. $$\begin{cases} \sin t>-\dfrac{\sqrt2}{2},\\ \cos t>-\dfrac12 \end{cases}$$

   Из неравенства $$\sin t>-\dfrac{\sqrt2}{2}$$ имеем

   $$t\in\left(-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\dfrac{5\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из неравенства $$\cos t>-\dfrac12$$ получаем

   $$t\in\left(-\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение:

   $$t\in\left(-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\begin{cases} \sin t>-\dfrac12,\\ \cos t<\dfrac{\sqrt2}{2} \end{cases}$$

   Из неравенства $$\sin t>-\dfrac12$$ имеем

   $$t\in\left(-\dfrac{7\pi}{6}+2\pi n,\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Из неравенства $$\cos t<\dfrac{\sqrt2}{2}$$ получаем

   $$t\in\left(\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\dfrac{7\pi}{4}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

   Пересечение этих промежутков:

   $$t\in\left(\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\dfrac{\pi}{6}+2\pi n\right),$$

   поэтому решений нет.

Ответ:

а) $$t\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2\pi n,\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
б) решений нет;
в) $$t\in\left(-\dfrac{\pi}{4}+2\pi n,\dfrac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z;$$
г) решений нет.